Савченко · Глава 10. Движение заряженных частиц в сложных полях · § 10.1. Движение в однородном магнитном поле

Савченко, задача 10.1.3

Задача 10.1.3циклотронная частота

Условие

а. Определите частоту обращения (циклотронную частоту) частицы массы \(m\) с зарядом \(q\) в магнитном поле индукции \(B\).

б. Определите циклотронную частоту электрона в магнитном поле индукции 1 Тл.

К задаче 10.1.3. Период обращения в однородном \(B\) не зависит от скорости и радиуса.

▶Посмотреть решениеСкрыть решение

Решение

Идея Из \(qvB=mv^2/R\) скорость сокращается, и угловая частота \(\omega=v/R\) оказывается равной \(qB/m\). Она не знает ни \(v\), ни \(R\) — только заряд, массу и поле.

а. Сила Лоренца сообщает центростремительное ускорение:

\[ qvB=\frac{mv^2}{R}\qquad\Longrightarrow\qquad \frac{v}{R}=\frac{qB}{m}. \]

Но \(v/R\) — это и есть угловая частота обращения по окружности:

\[ \omega=\frac{qB}{m}. \]

Период \(T=2\pi/\omega=2\pi m/(qB)\) один и тот же для быстрых и медленных частиц данного сорта. Быстрая просто ходит по большему кругу — и ровно настолько большему, чтобы успеть за то же время.

б. Для электрона \(q=e=1{,}6\cdot10^{-19}\) Кл, \(m=m_e=9{,}1\cdot10^{-31}\) кг, \(B=1\) Тл:

\[ \omega=\frac{eB}{m_e}=\frac{1{,}6\cdot10^{-19}\cdot1}{9{,}1\cdot10^{-31}}=1{,}76\cdot10^{11}\ \text{с}^{-1}\approx1{,}75\cdot10^{11}\ \text{с}^{-1}. \]

Проверка. Это около 28 ГГц — микроволновый диапазон. Именно поэтому ЭПР-спектрометры на электронах работают в сантиметровых волнах при полях порядка тесла, а ЯМР на протонах (в 1836 раз тяжелее) — уже в радиочастотах десятков мегагерц. Знак заряда задаёт лишь направление обхода, частота — модуль \(qB/m\).

Ответа) \(\omega=qB/m\); б) \(\omega=1{,}75\cdot10^{11}\) с⁻¹.

Следующая задача 10.1.4 →