Из точки \(A\) со скоростью \(v\) вылетают частицы, имея малый угловой разброс \(\delta\alpha\), и далее движутся в однородном магнитном поле индукции \(B\) перпендикулярно ему. Определите, на каком расстоянии от точки \(A\) соберётся пучок, и оцените в этом месте его поперечный размер. Масса частиц \(m\), заряд \(q\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Центральная частица (угол \(0\)) описывает полуокружность и через время \(\pi m/(qB)\) оказывается в точке, отстоящей от \(A\) на диаметр
\[ l=2R=\frac{2mv}{qB}. \]Частица, вылетевшая под углом \(\alpha\) к центральному направлению, идёт по такой же окружности, только повёрнутой. Её траектория снова пересекает ось симметрии пучка (диаметр центральной орбиты) в точке на расстоянии \(2R\cos\alpha\) от \(A\). Для малого \(\alpha\)
\[ 2R\cos\alpha=2R\bigl(1-\tfrac12\alpha^2+\cdots\bigr)=2R-R\alpha^2. \]В первом порядке по \(\alpha\) все лучи сходятся в одну точку — это и есть фокусировка на 180°. Во втором порядке фокус «размазан» вдоль оси. Если полный угловой раствор пучка равен \(\delta\alpha\) (от \(-\delta\alpha/2\) до \(+\delta\alpha/2\)), продольный разброс точек встречи
\[ \Delta z=2R-2R\cos\frac{\delta\alpha}{2}\approx2R\cdot\frac12\Bigl(\frac{\delta\alpha}{2}\Bigr)^2=\frac{R(\delta\alpha)^2}{4}=\frac{mv(\delta\alpha)^2}{4qB}. \]На фотопластинке, поставленной поперёк пучка у фокуса, именно эта величина и есть поперечный размер пятна: к моменту прихода скорость направлена вдоль диаметра, и «продольная» аберрация видна как ширина следа.