В устройстве для определения изотопного состава ионы калия \(^{39}\mathrm{K}^+\) и \(^{41}\mathrm{K}^+\) сначала ускоряются в электрическом поле, а затем попадают в однородное магнитное поле индукции \(B\), перпендикулярное направлению их движения. В процессе опыта из-за несовершенства аппаратуры ускоряющее напряжение меняется около своего среднего значения на величину \(\pm\Delta V\). С какой относительной погрешностью \(\Delta V/V_0\) нужно поддерживать постоянным значение ускоряющего напряжения, чтобы следы пучков изотопов калия на фотопластинке \(\Phi\) не перекрывались?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
После поворота на 180° (как в 10.1.8) \(x=2\sqrt{2mV}/(e^{1/2}B)\propto\sqrt{mV}\). Средние положения полос относятся как
\[ \frac{x_{41}}{x_{39}}=\sqrt{\frac{41}{39}}=\sqrt{1{,}0513}=1{,}0253. \]Напряжение гуляет в пределах \(V_0\pm\Delta V\). Обозначим \(\varepsilon=\Delta V/V_0\). Край полосы \(^{39}\mathrm{K}\) при максимальном напряжении: \(x_{39}\sqrt{1+\varepsilon}\); край полосы \(^{41}\mathrm{K}\) при минимальном: \(x_{41}\sqrt{1-\varepsilon}\). Чтобы полосы не перекрылись,
\[ x_{39}\sqrt{1+\varepsilon}<x_{41}\sqrt{1-\varepsilon}\qquad\Longrightarrow\qquad \frac{1+\varepsilon}{1-\varepsilon}<\frac{41}{39}. \]Правая часть равна \(1{,}0513\):
\[ 1+\varepsilon<1{,}0513\,(1-\varepsilon),\qquad \varepsilon+1{,}0513\varepsilon<0{,}0513,\qquad 2{,}0513\varepsilon<0{,}0513, \] \[ \varepsilon<\frac{0{,}0513}{2{,}0513}=0{,}0250. \]То есть напряжение нужно держать с относительной точностью лучше двух с половиной процентов.