Вдоль однородного магнитного поля индукции \(B\) из одной точки со скоростью \(v\) вылетают электроны, имея малый угловой разброс \(\delta\alpha\). Определите, на каком расстоянии от места вылета пучок будет иметь минимальный поперечный размер, и оцените его.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Угол вылета \(\theta\) к полю мал, \(\theta\lesssim\delta\alpha\). Тогда
\[ v_\parallel=v\cos\theta\approx v\Bigl(1-\frac{\theta^2}{2}\Bigr),\qquad v_\perp=v\sin\theta\approx v\theta. \]Радиус винтовой линии \(R=m_ev_\perp/(eB)\approx m_ev\theta/(eB)\). Шаг винта
\[ h(\theta)=\frac{2\pi m_ev_\parallel}{eB}=\frac{2\pi m_ev}{eB}\cos\theta. \]Параксиальные электроны (\(\theta=0\)) возвращаются на ось на расстоянии
\[ x=\frac{2\pi m_ev}{eB}. \]Это и есть место наилучшей фокусировки в первом порядке: период обращения от скорости не зависит, и за время \(T\) все успевают сделать ровно один оборот.
Во втором порядке \(h(\theta)<x\), и к плоскости \(z=x\) «косой» электрон подходит уже с лишней фазой \(\Delta\varphi\approx\pi\theta^2\). Расстояние до оси в этот момент
\[ \rho=2R\bigl|\sin(\Delta\varphi/2)\bigr|\approx R\cdot\pi\theta^2=\frac{\pi m_ev}{eB}\,\theta^3. \]Чтобы оценить минимальный поперечный размер всего пучка (углы от нуля до \(\delta\alpha\)), экран чуть сдвигают от параксиального фокуса — в «круг наименьшего рассеяния». Характерный остаток фазы там \(\sim\pi(\delta\alpha)^2/4\), и оценка пятна
\[ \Delta y\sim R_{\max}\cdot\frac{\pi(\delta\alpha)^2}{4}=\frac{\pi m_ev(\delta\alpha)^3}{4eB}. \]