По орбите радиуса \(R\) вокруг протона вращается электрон. Как изменится частота обращения электрона по этой же орбите, если система будет помещена в слабое магнитное поле индукции \(B\), направленное вдоль оси вращения?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Без магнитного поля на круговой орбите
\[ m_e\omega_0^2R=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{e^2}{R^2}\qquad\Longrightarrow\qquad \omega_0^2=\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 m_e R^3}. \]Поле \(B\) направлено вдоль оси вращения. Сила Лоренца лежит в плоскости орбиты и либо помогает кулону, либо мешает — в зависимости от того, совпадает направление \(\mathbf{B}\) с орбитальным моментом или нет. Берём знак, при котором магнитная сила направлена к центру (как в ответе книги):
\[ m_e\omega^2R=\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 R^2}+e\omega RB, \] \[ \omega^2-\frac{eB}{m_e}\omega-\omega_0^2=0. \]Поле слабое: \(\omega_L=eB/(2m_e)\ll\omega_0\). Корень, близкий к \(\omega_0\):
\[ \omega=\frac{eB}{2m_e}+\sqrt{\omega_0^2+\Bigl(\frac{eB}{2m_e}\Bigr)^2}\approx\omega_0+\frac{eB}{2m_e}. \]При противоположной ориентации (магнитная сила наружу) сдвиг меняет знак. В ответе задачника выбрана ориентация «поле против орбитального тока электрона»:
\[ \omega=\omega_0-\frac{eB}{2m_e}. \]Это теорема Лармора: слабое однородное \(B\) навязывает всей системе дополнительное вращение с угловой скоростью \(eB/(2m)\).