Какое напряжение нужно приложить между обкладками цилиндрического конденсатора, чтобы он «захватил на орбиту» электроны, прошедшие ускоряющую разность потенциалов \(V\)? Конденсатор находится в однородном магнитном поле индукции \(B\), направленном вдоль оси конденсатора. Расстояние между обкладками \(h\) много меньше среднего радиуса конденсатора \(R\).
К задаче 10.1.16. Узкий цилиндрический зазор: электрическое и магнитное поля вместе держат электрон на окружности \(R\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Электрон уже имеет скорость \(v=\sqrt{2eV/m_e}\) от ускоряющего напряжения. На круговой орбите радиуса \(R\) центростремительную силу делят электрическое поле конденсатора и сила Лоренца. Так как \(h\ll R\), поле конденсатора однородно: \(E=V'/h\).
Скорость электрона после ускорения
\[ v=\sqrt{\frac{2eV}{m_e}}. \]
На орбите радиуса \(R\) второй закон Ньютона (магнитная сила к центру — поле «помогает» конденсатору):
Подставляем \(v^2=2eV/m_e\) и \(v=\sqrt{2eV/m_e}\):
\[ V'=\frac{2Vh}{R}-Bh\sqrt{\frac{2eV}{m_e}}. \]
Проверка. При \(B=0\) остаётся \(V'=2Vh/R\): чисто электрический «циклотрон» — поле конденсатора само обеспечивает \(mv^2/R\). Множитель 2 появляется потому, что \(mv^2=2eV\). Если поле \(B\) велико, \(V'\) может стать отрицательным: полярность конденсатора нужно сменить, магнит сам «передерживает». Размерность обоих слагаемых — вольты.