а. В плоском конденсаторе длины \(l\) напряжённость электрического поля равна \(E\), а индукция магнитного поля, направленного вдоль \(\mathbf{E}\), равна \(B\). У входа в конденсатор имеется радиоактивный источник, испускающий электроны с разными скоростями. Из них формируют тонкий пучок, который проходит через конденсатор, а затем попадает на фотопластинку, расположенную на расстоянии \(L\gg l\). Какую линию-след «вычертят» электроны на фотопластинке, если отклонения их от прямолинейной траектории малы?
б. Найдите линию-след электронов на фотопластинке для \(B=1\) Тл, \(E=5\cdot10^5\) В/м, \(l=5\) см, \(L=50\) см.
в. При большой скорости электрона его масса заметно изменяется; согласно формуле Лоренца \(m=m_e/\sqrt{1-\beta^2}\), где \(\beta\) — отношение скорости электрона к скорости света, \(m_e\) — масса покоя электрона. Решите задачу 10.1.17а с учётом эффекта изменения массы электрона.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
а. Электрон летит вдоль оси \(x\), поля \(\mathbf{E}\parallel\mathbf{B}\) направлены по \(y\). Время пролёта конденсатора \(t=l/v\). Пока отклонения малы, скорость почти не меняется по модулю.
Электрическая сила даёт \(v_y=eEl/(m_ev)\) и смещение в конденсаторе \(\sim eEl^2/(2m_ev^2)\). На пути \(L\gg l\) до пластинки главное — «угол вылета»:
\[ y\approx v_y\cdot\frac{L}{v}=\frac{eElL}{m_ev^2}. \]Магнитная сила вначале направлена по \(z\) и равна \(evB\), поэтому
\[ v_z\approx\frac{eBl}{m_e},\qquad z\approx v_z\cdot\frac{L}{v}=\frac{eBlL}{m_ev}. \]Исключаем \(v\): из второго равенства \(v=eBlL/(m_ez)\), подставляем в первое
\[ y=\frac{eElL}{m_e}\cdot\frac{m_e^2z^2}{e^2B^2l^2L^2}=\frac{m_eE}{eB^2lL}\,z^2. \]б. \(B=1\) Тл, \(E=5\cdot10^5\) В/м, \(l=0{,}05\) м, \(L=0{,}50\) м:
\[ \frac{m_eE}{eB^2lL}=\frac{9{,}1\cdot10^{-31}\cdot5\cdot10^5}{1{,}6\cdot10^{-19}\cdot1\cdot0{,}05\cdot0{,}50} =\frac{4{,}55\cdot10^{-25}}{4{,}0\cdot10^{-21}}=1{,}14\cdot10^{-4}\ \text{м}^{-1}. \]В книге округлено \(1{,}1\cdot10^{-4}\). Итак, \(y=1{,}1\cdot10^{-4}\,z^2\) (всё в метрах).
в. Релятивистски поперечный импульс, набираемый в полях, тот же (\(eEt\), \(eBvt\)), но масса \(m=m_e/\sqrt{1-\beta^2}\) зависит от скорости. Повторяя вывод, получаем \(y=(mE/(eB^2lL))z^2\), где уже \(m=m(v)\). Связь \(z=eBlL/(mv)\) даёт
\[ m=\frac{m_e}{\sqrt{1-v^2/c^2}}=m_e\sqrt{1+\Bigl(\frac{eBlL}{m_ecz}\Bigr)^2}, \] \[ y=\frac{m_eE}{eB^2lL}\,z\sqrt{z^2+\Bigl(\frac{eBlL}{m_ec}\Bigr)^2}. \]