Савченко · Глава 10. Движение заряженных частиц в сложных полях · § 10.1. Движение в однородном магнитном поле

Савченко, задача 10.1.18

Задача 10.1.18время ускорения в циклотроне

Условие

Определите время ускорения протона, входящего в центр ускорителя с кинетической энергией \(K\), если ускоряющее напряжение на дуантах циклотрона \(V\), индукция магнитного поля ускорителя \(B\), его радиус \(R\). Временем движения протона между дуантами ускорителя пренебречь.

К задаче 10.1.18. Циклотрон: протон раскручивается от центра к краю дуантов, набирая \(2eV\) за оборот.

▶Посмотреть решениеСкрыть решение

Решение

Идея Период обращения в циклотроне не зависит от энергии — это и есть вся соль машины. Протон дважды за оборот пересекает щель между дуантами и каждый раз получает \(eV\). Число оборотов есть \((K_\text{кон}-K)/(2eV)\), время — это число, умноженное на период.

На краю ускорителя радиус орбиты равен \(R\), импульс \(p=eBR\), конечная кинетическая энергия

\[ K_f=\frac{p^2}{2m_p}=\frac{e^2B^2R^2}{2m_p}. \]

За один оборот протон пересекает зазор дважды и получает энергию \(2eV\). Число оборотов от начальной энергии \(K\) до \(K_f\)

\[ N=\frac{K_f-K}{2eV}. \]

Период одного оборота (временем пролёта щели пренебрегаем, как сказано)

\[ T=\frac{2\pi m_p}{eB}. \]

Время ускорения

\[ t=NT=\frac{K_f-K}{2eV}\cdot\frac{2\pi m_p}{eB}=\frac{\pi m_p}{e^2BV}\Bigl(\frac{e^2B^2R^2}{2m_p}-K\Bigr). \]

Проверка. При \(K=K_f\) время нулевое: протон уже «готовый». При \(K=0\) и типичных \(B=1\) Тл, \(R=0{,}5\) м, \(V=10\) кВ получаем \(K_f\approx12\) МэВ, \(N\sim600\), \(T\sim60\) нс, \(t\sim40\) мкс — микросекунды, как у настоящих циклотронов. Размерность: \(m_pK/(e^2BV)\) — секунды.

Ответ\(t=\dfrac{\pi m_p}{e^2BV}\left(\dfrac{e^2B^2R^2}{2m_p}-K\right)\).

Следующая задача 10.1.19 →