Пластины плоского конденсатора с шириной зазора между ними \(d\) расположены перпендикулярно магнитному полю индукции \(B\). Около катода расположен источник медленных электронов, вылетающих в разных направлениях к пластинам. При каком напряжении на конденсаторе электроны будут фокусироваться на аноде? Чем определяется размер пятна?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Циклотронная частота \(\omega=eB/m_e\) не зависит от скорости. Движение вдоль поля — равноускоренное (стартовали «медленными», \(v_\parallel(0)\approx0\)):
\[ a=\frac{eE}{m_e}=\frac{eV}{m_ed},\qquad d=\frac12 at^2\qquad\Longrightarrow\qquad t=d\sqrt{\frac{2m_e}{eV}}. \]Фокусировка на аноде: \(\omega t=2\pi k\), \(k=1,2,\dots\)
\[ \frac{eB}{m_e}\cdot d\sqrt{\frac{2m_e}{eV}}=2\pi k. \]Возводим в квадрат и выражаем напряжение:
\[ \frac{e^2B^2d^2}{m_e^2}\cdot\frac{2m_e}{eV}=4\pi^2k^2,\qquad V=\frac{eB^2d^2}{2\pi^2m_e}\cdot\frac1{k^2}. \]Размер пятна задаёт начальная поперечная скорость электронов (тепловая, «медленный» источник): радиус винтовой линии \(R=m_ev_\perp/(eB)\). Чем холоднее катод и чем сильнее \(B\), тем мельче пятно.