Определите, какую максимальную скорость разовьёт заряженное тело, скользящее по наклонной плоскости в магнитном поле индукции \(B\) и в поле тяжести. Масса и заряд тела \(m\) и \(q\). Магнитное поле параллельно наклонной плоскости и перпендикулярно полю тяжести. Угол наклона плоскости к горизонту \(\alpha\). Коэффициент трения о плоскость \(\mu\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Выберем направление \(B\) (или знак заряда) так, чтобы сила Лоренца \(qvB\) прижимала тело к плоскости. Тогда нормальная реакция
\[ N=mg\cos\alpha+qvB. \]Сила трения \(\mu N\) направлена вверх по склону. Второй закон вдоль склона:
\[ m\dot v=mg\sin\alpha-\mu(mg\cos\alpha+qvB). \]Максимальная скорость — когда ускорение обращается в нуль:
\[ mg\sin\alpha=\mu mg\cos\alpha+\mu qvB, \] \[ v=\frac{mg}{qB\mu}(\sin\alpha-\mu\cos\alpha). \]Это имеет смысл только если тело вообще трогается с места: \(\mu\le\mathrm{tg}\,\alpha\). Если \(\mu>\mathrm{tg}\,\alpha\), скатывающая сила меньше трения покоя уже при \(v=0\), и тело стоит,
\[ v=0\qquad(\mu>\mathrm{tg}\,\alpha). \]При противоположном направлении \(B\) сила Лоренца отрывает тело от плоскости, трение падает со скоростью, и конечной максимальной скорости на плоскости нет (тело либо улетает, либо разгоняется без предела). Задача спрашивает максимум — имеется в виду прижимающая ориентация.