Докажите, что приращение момента импульса \(\Delta M\) кольца в задаче 10.1.21 пропорционально приращению потока магнитной индукции через кольцо \(\Delta\Phi\): \(\Delta M=(1/2\pi)Q\Delta\Phi\), где \(Q\) — электрический заряд кольца. Для доказательства воспользуйтесь тем, что поток магнитной индукции через боковую поверхность цилиндра равен разности потоков через его торцы.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Пусть кольцо сместилось вдоль оси на \(dz\). Вместе с прежним положением оно ограничивает короткий цилиндр высоты \(dz\). Поток через его боковую поверхность
\[ d\Phi_{\text{бок}}=B_R\cdot 2\pi R\cdot dz. \]Из \(\oint\mathbf{B}\,d\mathbf{S}=0\) этот поток равен разности потоков через торцы. Значит, приращение потока через площадь кольца
\[ d\Phi=\Phi(z+dz)-\Phi(z)=-B_R\cdot 2\pi R\,dz \](знак зависит от выбора нормали; нам понадобится модуль и согласованность с моментом). Из задачи 10.1.21 момент сил \(M_{\text{сил}}=2\pi R^2\rho v B_R\). Изменение момента импульса за время \(dt\):
\[ dM=M_{\text{сил}}\,dt=2\pi R^2\rho v B_R\,dt=2\pi R^2\rho B_R\,dz, \]потому что \(v\,dt=dz\). Полный заряд кольца \(Q=2\pi R\rho\), откуда \(\rho=Q/(2\pi R)\) и
\[ dM=2\pi R^2\cdot\frac{Q}{2\pi R}\cdot B_R\,dz=QR B_R\,dz=\frac{Q}{2\pi}\cdot(2\pi R B_R\,dz)=\frac{Q}{2\pi}\,|d\Phi|. \]Согласовывая знаки так, как в условии (прирост потока «вперёд» раскручивает кольцо в определённую сторону), получаем
\[ \Delta M=\frac1{2\pi}Q\,\Delta\Phi. \]