Савченко · Глава 10. Движение заряженных частиц в сложных полях · § 10.1. Движение в однородном магнитном поле

Савченко, задача 10.1.23

Задача 10.1.23кольцо из B₁ в B₂

Условие

Какую минимальную скорость нужно сообщить равномерно заряженному непроводящему кольцу, расположенному соосно аксиально-симметричному полю, вдоль оси этого поля, чтобы кольцо переместилось из области однородного магнитного поля \(B_1\) в область однородного поля \(B_2\), \(B_2>B_1\)? Радиус кольца \(R\), заряд \(Q\), масса \(m\).

₁ B₂ > B₁ v переводная KE → вращательная, Лоренц работы не совершает

К задаче 10.1.23. Чтобы проскочить в более сильное поле, кольцу хватит запаса на раскрутку \(\Delta M=(Q/2\pi)\Delta\Phi\).

▶Посмотреть решениеСкрыть решение

Решение

Идея Сила Лоренца работы не совершает, полная кинетическая энергия сохраняется. Часть поступательной энергии уходит во вращение: кольцо набирает момент импульса \(\Delta M=(Q/2\pi)\Delta\Phi\). Минимальная скорость — та, при которой на финише поступательная скорость как раз обнуляется.

Поток через кольцо в однородном поле \(\Phi=B\cdot\pi R^2\). Из задачи 10.1.22

\[ \Delta M=\frac{Q}{2\pi}\Delta\Phi=\frac{Q}{2\pi}\cdot\pi R^2(B_2-B_1)=\frac{Q R^2}{2}(B_2-B_1). \]

Кольцо непроводящее, заряд «прибит» к ободу, момент инерции \(I=mR^2\). Угловая скорость, которую оно приобретёт,

\[ \omega=\frac{\Delta M}{I}=\frac{Q(B_2-B_1)}{2m}. \]

Вращательная энергия

\[ K_{\text{вр}}=\frac12 I\omega^2=\frac12 mR^2\cdot\frac{Q^2(B_2-B_1)^2}{4m^2}=\frac{Q^2R^2(B_2-B_1)^2}{8m}. \]

На пороге прохода вся начальная поступательная энергия уходит во вращение:

\[ \frac12 mv^2=K_{\text{вр}}\qquad\Longrightarrow\qquad v=\frac{Q(B_2-B_1)R}{2m}. \]

Проверка. При \(B_2=B_1\) порог нулевой: поле однородно, раскрутки нет, кольцо пролетает как хочет. Размерность: \(QB R/m\) — это скорость (заряд·тесла·метр/килограмм). Если кольцо проводящее, заряд перераспределится, и ответ изменится; здесь оно нарочно непроводящее.

Ответ\(v=Q(B_2-B_1)R/(2m)\).

Следующая задача 10.1.24 →