Савченко · Глава 10. Движение заряженных частиц в сложных полях · § 10.1. Движение в однородном магнитном поле

Савченко, задача 10.1.24

Задача 10.1.24инвариант M + (e/2π)Φ

Условие

а. Электрон движется в однородном магнитном поле по окружности. Через него проводят любую другую окружность, ось \(OO'\) которой направлена вдоль магнитного поля. Покажите, что сумма \(M+(1/2\pi)e\Phi\), где \(\Phi\) — поток магнитного поля через эту окружность, а \(M\) — момент импульса электрона относительно оси \(OO'\), не зависит от положения электрона.

б. Покажите, что сумма \(M+(1/2\pi)e\Phi\) не меняется в случае движения электрона в однородном магнитном поле по винтовой линии.

К задаче 10.1.24. Любая ось вдоль \(B\) и окружность через электрон: комбинация \(M+(e/2\pi)\Phi\) одна и та же во всех точках орбиты.

▶Посмотреть решениеСкрыть решение

Решение

Идея В однородном поле электрон ходит по окружности известного радиуса. Момент импульса относительно параллельной оси и поток через «пробную» окружность оба зависят от положения — но линейно по \(\cos\psi\), и эти две гармоники гасят друг друга.

а. Пусть поле \(B\) направлено по \(z\), циклотронный радиус электрона \(R=m_ev/(eB)\), центр орбиты — точка \(C\). Ось \(OO'\) параллельна \(B\) и отстоит от \(C\) на расстояние \(b\). Электрон на орбите: его расстояние до оси

\[ r^2=b^2+R^2+2bR\cos\psi, \]

где \(\psi=\omega t\) — фаза на циклотронной окружности. Поток через окружность радиуса \(r\) (ось \(OO'\), электрон на окружности)

\[ \Phi=B\pi r^2=B\pi(b^2+R^2+2bR\cos\psi). \]

Момент импульса относительно \(OO'\). Скорость электрона чисто азимутальная на своей орбите, \(\omega=eB/m_e\). Прямой подсчёт \(M_z=m_e(xv_y-yv_x)\) даёт

\[ M=-m_e\omega R^2-m_e\omega bR\cos\psi=-eBR^2-eBbR\cos\psi \]

(знак минус: электрон крутится «против» положительного \(q\mathbf{v}\times\mathbf{B}\); заряд в формуле условия берём как \(+e\), а знак \(M\) согласован с направлением оси вдоль \(\mathbf{B}\)). Тогда

\[ M+\frac{e}{2\pi}\Phi =-eBR^2-eBbR\cos\psi+\frac{e}{2\pi}\cdot B\pi(b^2+R^2+2bR\cos\psi) =-eBR^2-eBbR\cos\psi+\frac{eB}{2}(b^2+R^2)+eBbR\cos\psi =\frac{eB}{2}(b^2-R^2). \]

Члены с \(\cos\psi\) сократились. Сумма не зависит от положения электрона на орбите — только от того, какую ось мы выбрали (от \(b\)) и от радиуса орбиты.

б. На винтовой линии появляется ещё \(v_\parallel\) вдоль \(B\). Но \([\mathbf{r}\times m\mathbf{v}_\parallel]_z=0\): параллельная скорости слагаемая момента относительно оси, параллельной \(B\), тождественно нуль. Поток \(\Phi\) берётся через окружность в плоскости, перпендикулярной \(B\), и от \(z\) в однородном поле не зависит. Значит, та же комбинация постоянна и на винтовой линии.

Проверка. Если ось \(OO'\) совпадает с осью орбиты (\(b=0\)), сумма равна \(-\frac12 eBR^2\). Это ровно \(M+(e/2\pi)\Phi\) для самой циклотронной окружности: \(M=-eBR^2\), \(\Phi=B\pi R^2\), и \(M+(e/2\pi)\Phi=-eBR^2+\frac12 eBR^2=-\frac12 eBR^2\). Сходится. В неоднородном поле эта величина уже не константа «на окружности», но сохраняется вдоль траектории — см. 10.1.25–26.

ОтветСумма \(M+(e/2\pi)\Phi\) постоянна на окружности и на винтовой линии в однородном \(B\).

Следующая задача 10.1.25 →