Докажите, что изменение момента импульса электрона при движении его от точки \(A\) до точки \(C\) в аксиально-симметричном магнитном поле относительно оси поля равно разности магнитных потоков через сечения \(S_1\) и \(S_2\), умноженной на \(e/2\pi\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Рассмотрим маленький участок траектории длины \(\Delta l\). Пусть \(v\) — проекция скорости на плоскость, проходящую через электрон и ось симметрии. Время пролёта участка \(t=\Delta l/v\).
Сила Лоренца в направлении, перпендикулярном этой плоскости (азимут), равна \(-e v B_\perp\), где \(B_\perp\) — компонента индукции, лежащая в указанной плоскости и перпендикулярная скорости. Изменение поперечного импульса
\[ \Delta p_\perp=-e B_\perp v\cdot\frac{\Delta l}{v}=-e B_\perp\Delta l. \]Но \(B_\perp\Delta l\cdot r\) — это поток через узкую «лепестковую» площадку между двумя радиусами, отличающимися на угол \(\Delta l/r\)? Точнее: поток через кольцевой сектор, который заметает радиус-вектор, равен \(B_\perp\cdot\Delta l\cdot r\) в пересчёте на полный оборот \(2\pi r\), поэтому
\[ B_\perp\Delta l=\frac{\Delta\Phi}{2\pi r}, \]где \(\Delta\Phi\) — магнитный поток через площадку, заметенную радиусом при смещении электрона на \(\Delta l\). Тогда
\[ \Delta p_\perp=-e\frac{\Delta\Phi}{2\pi r}. \]Изменение момента импульса относительно оси
\[ \Delta M=r\,\Delta p_\perp=-\frac{e}{2\pi}\Delta\Phi. \]Складываем вдоль всей траектории от \(A\) до \(C\). Полный «заметённый» поток есть разность потоков через сечения \(S_1\) и \(S_2\) (аксиальная симметрия: поток через боковую поверхность трубки равен разности торцевых, как в 10.1.22):
\[ M_C-M_A=\frac{e}{2\pi}(\Phi_1-\Phi_2). \]Это и требовалось. Отсюда же следует сохранение \(M+(e/2\pi)\Phi\) вдоль любой траектории в осесимметричном поле.