Какая часть электронов, испущенных во все стороны радиоактивной пылинкой, расположенной на оси магнитной ловушки, останется внутри этой ловушки? Индукция магнитного поля внутри ловушки \(B_1\), вне её \(B_2>B_1\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Электрон стартует в поле \(B_1\) под углом \(\theta\) к оси (\(v_\perp=v\sin\theta\), \(v_\parallel=v\cos\theta\)). Адиабатический инвариант
\[ \frac{\sin^2\theta}{B}=\mathrm{const}\qquad\Longrightarrow\qquad \frac{\sin^2\theta_1}{B_1}=\frac{\sin^2\theta_2}{B_2}. \]Отражение в пробке — это \(\theta_2=\pi/2\), \(\sin\theta_2=1\). Граничный стартовый угол
\[ \sin\theta_c=\sqrt{\frac{B_1}{B_2}}. \]Электроны с \(\theta_c<\theta<\pi-\theta_c\) (достаточно «поперечные») отразятся от обеих пробок и останутся в ловушке. Электроны в конусе потерь \(\theta<\theta_c\) и \(\theta>\pi-\theta_c\) уйдут вдоль оси.
Пылинка излучает изотропно: вероятность направления пропорциональна телесному углу, \(dP=\frac12\sin\theta\,d\theta\) на \((0,\pi)\). Доля захваченных
\[ n=\int_{\theta_c}^{\pi-\theta_c}\frac12\sin\theta\,d\theta =\frac12\bigl[-\cos\theta\bigr]_{\theta_c}^{\pi-\theta_c} =\cos\theta_c=\sqrt{1-\sin^2\theta_c}=\sqrt{1-\frac{B_1}{B_2}}. \]В ответах книги напечатано \(n=(1-\sqrt{B_1/B_2})/2\). Это доля, вылетающая в один конус потерь, да ещё с заменой \(\cos\theta_c\) на \(\sin\theta_c\). Для двусторонней ловушки правильная доля оставшихся — \(\sqrt{1-B_1/B_2}\): при \(B_2\to\infty\) в ловушке остаётся почти всё (\(n\to1\)), а не половина.