Определите минимальный радиус, который может иметь пучок электронов при переходе из поля с индукцией \(B_1\) в поле с индукцией \(B_2\). Оси симметрии переходного поля и пучка совпадают. Радиус пучка в поле \(B_1\) равен \(R\), скорость пучка в поле \(B_1\) параллельна индукции.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Для электрона на краю пучка в поле \(B_1\): скорость параллельна индукции, \(M_1=0\), \(\Phi_1=B_1\pi R^2\). Сохранение
\[ M+\frac{e}{2\pi}\Phi=\frac{e}{2\pi}B_1\pi R^2=\frac{e B_1 R^2}{2}. \]В поле \(B_2\) на радиусе \(r\)
\[ m_e r v_\varphi+\frac{e}{2\pi}B_2\pi r^2=\frac{e B_1 R^2}{2}, \] \[ v_\varphi=\frac{e}{2m_e}\Bigl(B_1\frac{R^2}{r}-B_2 r\Bigr). \]Радиус пучка минимален в том смысле «самый узкий ламинарный пучок, который ещё можно собрать, не вкладывая лишней энергии во вращение»: \(v_\varphi=0\), откуда
\[ B_2 r^2=B_1 R^2\qquad\Longrightarrow\qquad r=R\sqrt{\frac{B_1}{B_2}}. \]Это вмороженность потока: силовые трубки сжимаются, и пучок едет вместе с ними. В ответах книги напечатано \(r=R\sqrt{B_2/B_1}\) — переставлены индексы. При \(B_2>B_1\) пучок должен сжаться, а не расшириться.