В сильных магнитных полях электрон движется по винтовой линии, «навитой» на линию магнитного поля. Докажите, что в случае, когда радиус винтовой линии настолько мал, что поле внутри неё можно считать однородным, произведение квадрата радиуса винтовой линии на индукцию магнитного поля не меняется.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Пусть в данном месте поле можно считать однородным на масштабе ларморовского радиуса \(R=m_ev_\perp/(eB)\). Возьмём ось винтовой линии (силовую линию, на которую навит электрон) в роли \(OO'\). Тогда момент импульса электрона относительно этой оси
\[ M=-m_ev_\perp R=-eBR^2 \](электрон, знак как в 10.1.24), а поток через кружок
\[ \Phi=B\cdot\pi R^2. \]Комбинация задачи 10.1.26
\[ M+\frac{e}{2\pi}\Phi=-eBR^2+\frac{e}{2\pi}\cdot B\pi R^2=-eBR^2+\frac12 eBR^2=-\frac12 e\,R^2B. \]Она сохраняется вдоль траектории. Следовательно,
\[ R^2B=\mathrm{const}. \]Тот же факт на другом языке: магнитный момент витка \(\mu=I\cdot\pi R^2\), ток \(I=e/T=e\cdot(eB)/(2\pi m_e)\), и \(\mu=m_ev_\perp^2/(2B)\). Из \(R=m_ev_\perp/(eB)\) сразу \(R^2B=(m_e/e^2)v_\perp^2/B\propto\mu\). Сохранение \(\mu\) в медленно меняющемся поле — классический адиабатический инвариант, на котором стоят магнитные ловушки (задача 10.1.27).