С помощью камеры Вильсона, помещённой в магнитное поле индукции \(B\), наблюдают упругое рассеяние \(\alpha\)-частиц на ядрах дейтерия. Найдите начальную энергию \(\alpha\)-частицы, если радиус кривизны начальных участков траекторий ядра и \(\alpha\)-частицы после рассеяния оказался равным \(R\). Обе траектории лежат в плоскости, перпендикулярной индукции магнитного поля.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Ядро дейтерия до удара покоилось (иначе в камере была бы и его «входная» дорожка). После рассеяния радиусы кривизны обоих осколков равны \(R\), поле перпендикулярно скоростям, поэтому
\[ p_\alpha'=2e\cdot B\cdot R=2eBR,\qquad p_d'=e\cdot B\cdot R=eBR. \]Упругий удар, мишень покоилась. Закон сохранения энергии:
\[ \frac{p_\alpha^2}{2m_\alpha}=\frac{p_\alpha'^2}{2m_\alpha}+\frac{p_d'^2}{2m_d}. \]Массы: \(m_\alpha=4m_p\), \(m_d=2m_p\). Подставляем импульсы после удара:
\[ \frac{p_\alpha^2}{8m_p}=\frac{(2eBR)^2}{8m_p}+\frac{(eBR)^2}{4m_p} =\frac{4e^2B^2R^2}{8m_p}+\frac{e^2B^2R^2}{4m_p} =\frac{e^2B^2R^2}{2m_p}+\frac{e^2B^2R^2}{4m_p} =\frac{3e^2B^2R^2}{4m_p}. \]Отсюда \(p_\alpha^2=6e^2B^2R^2\), и начальная кинетическая энергия \(\alpha\)-частицы
\[ K=\frac{p_\alpha^2}{2m_\alpha}=\frac{6e^2B^2R^2}{8m_p}=\frac{3(eBR)^2}{4m_p}. \]Импульс тоже сходится: из \(p_\alpha^2=p_\alpha'^2+p_d'^2+2\mathbf{p}_\alpha'\cdot\mathbf{p}_d'\) следует \(\cos\theta=1/4\) — вполне законный угол разлёта, ничего «лишнего» энергия не потребовала.