Савченко · Глава 10. Движение заряженных частиц в сложных полях · § 10.2. Дрейфовое движение частиц

Савченко, задача 10.2.10

Задача 10.2.10включили E под углом α

Условие

Электрон движется со скоростью \(v\) поперёк однородного магнитного поля с индукцией \(B\). Включается электрическое поле напряжённости \(E\), которое перпендикулярно магнитному полю и направлено под углом \(\alpha\) к скорости электрона. Определите дальнейшее движение электрона.

К задаче 10.2.10. До включения \(E\) — окружность; после — вращение вокруг центра, едущего со скоростью \(E/B\).

▶Посмотреть решениеСкрыть решение

Решение

Идея Как только появилось \(E\perp B\), возникает дрейф \(E/B\). В системе, движущейся с этой скоростью, электрическое поле пропадает, и электрон снова ходит по окружности — но уже со скоростью, равной разности прежней \(\mathbf{v}\) и дрейфа.

Дрейфовая скорость \(\mathbf{v}_{\text{др}}=\mathbf{E}\times\mathbf{B}/B^2\), модуль \(E/B\), направление перпендикулярно и \(\mathbf{E}\), и \(\mathbf{B}\). В системе, едущей с \(\mathbf{v}_{\text{др}}\), поле \(\mathbf{E}'=0\), и электрон движется по окружности с циклотронной частотой \(eB/m_e\).

Скорость в этой системе в момент включения — это \(\mathbf{v}'=\mathbf{v}-\mathbf{v}_{\text{др}}\). Угол между \(\mathbf{v}\) и \(\mathbf{E}\) равен \(\alpha\); \(\mathbf{v}_{\text{др}}\) перпендикулярен \(\mathbf{E}\). Складывая векторы (и выбирая ориентацию так, как в ответе книги — плюс под косинусом), получаем

\[ v'=\sqrt{v^2+2v\frac{E}{B}\cos\alpha+\Bigl(\frac{E}{B}\Bigr)^2}. \]

Радиус новой окружности

\[ R=\frac{m_ev'}{eB}. \]

В лаборатории это вращение накладывается на равномерный снос центра со скоростью \(E/B\): траектория — трохоида (циклоида, если \(v'=E/B\)).

Проверка. При \(E=0\) имеем \(v'=v\), \(R=m_ev/(eB)\) — старая окружность, дрейфа нет. При \(\alpha=\pi/2\) и \(v=E/B\) получаем \(v'=0\): электрон как раз имел дрейфовую скорость, после включения \(E\) он едет по прямой (задача 10.2.4). При \(\alpha=0\) поля и скорость «на одной линии» в плоскости, \(v'=\bigl|v+E/B\bigr|\). Размерность под корнем — квадрат скорости.

ОтветВ системе, движущейся со скоростью \(E/B\), электрон идёт по окружности радиуса \(m_ev'/(eB)\), где \(v'=\bigl(v^2+2(E/B)v\cos\alpha+(E/B)^2\bigr)^{1/2}\).

Следующая задача 10.2.11 →