Савченко · Глава 10. Движение заряженных частиц в сложных полях · § 10.2. Дрейфовое движение частиц

Савченко, задача 10.2.9

Задача 10.2.9магнетронная отсечка

Условие

На плоские анод и катод, расстояние между которыми \(d\), подаётся высокое напряжение. Система находится в магнитном поле индукции \(B\), параллельном плоскости электродов. Определите, при каком напряжении электроны достигнут анода. Найдите это напряжение, если \(B=0{,}1\) Тл, \(d=2\) см.

К задаче 10.2.9. Электроны стартуют с катода почти с нуля: циклоида достаёт до анода, когда её высота равна \(d\).

▶Посмотреть решениеСкрыть решение

Решение

Идея С катода электроны выходят почти покоясь. В скрещенных \(E=V/d\) и \(B\) их траектория — циклоида высоты \(2mE/(eB^2)\). Анода они достигнут, когда эта высота станет не меньше зазора \(d\).

В дрейфовой системе (скорость \(E/B\) вдоль пластин) электрон стартует со скоростью \(E/B\) и крутится радиусом

\[ R=\frac{m_e(E/B)}{eB}=\frac{m_eE}{eB^2}. \]

Циклоида в лаборатории имеет высоту \(2R\) — от «остановки» на катоде до верхней точки. Условие достижения анода: \(2R\ge d\),

\[ \frac{2m_eE}{eB^2}\ge d,\qquad E=\frac Vd, \] \[ V\ge\frac{eB^2d^2}{2m_e}. \]

Критическое (минимальное) напряжение, при котором электроны ещё касаются анода:

\[ V=\frac{eB^2d^2}{2m_e}. \]

Числа: \(B=0{,}1\) Тл, \(d=2\) см \(=0{,}02\) м,

\[ V=\frac{1{,}6\cdot10^{-19}\cdot(0{,}1)^2\cdot(0{,}02)^2}{2\cdot9{,}1\cdot10^{-31}} =\frac{1{,}6\cdot10^{-19}\cdot10^{-2}\cdot4\cdot10^{-4}}{1{,}82\cdot10^{-30}} =\frac{6{,}4\cdot10^{-25}}{1{,}82\cdot10^{-30}}=3{,}5\cdot10^{5}\ \text{В}. \]

Проверка. При \(B=0\) порог нулевой: без поля любой потенциал тянет электроны на анод. При \(B=0{,}1\) Тл и сантиметровом зазоре нужны сотни киловольт — магнетронная отсечка очень жёсткая, именно поэтому в старых магнетронах ждали «среза анодного тока» как функцию \(B\). Размерность: \(eB^2d^2/m_e\) — вольты (\(\text{Кл}\cdot\text{Тл}^2\cdot\text{м}^2/\text{кг}=\text{В}\)).

Ответ\(V=eB^2d^2/(2m_e)\); \(V=3{,}5\cdot10^5\) В.

Следующая задача 10.2.10 →