Оцените скорость дрейфа электрона поперёк неоднородного магнитного поля, компоненты индукции которого \(B_x=0\), \(B_y=0\), \(B_z=B_0(1+\alpha x)\). Скорость электрона \(v\), \(v\ll eB_0/(\alpha m_e)\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Поле \(B_z=B_0(1+\alpha x)\) растёт вдоль \(x\). Условие \(v\ll eB_0/(\alpha m_e)\) означает, что за один ларморовский радиус поле меняется мало:
\[ R_0=\frac{m_ev}{eB_0}\ll\frac1\alpha, \]градиент слабый, и можно говорить о почти-окружности, которая медленно сносится.
Оценка. На диаметре кружка поле отличается на \(\Delta B\sim\alpha B_0\cdot 2R_0=2\alpha m_ev/e\). Радиусы на двух краях
\[ R_\pm\approx\frac{m_ev}{e(B_0\pm\Delta B/2)}\approx R_0\bigl(1\mp\alpha R_0\bigr). \]За пол-оборота в «слабом» поле электрон проходит вдоль \(y\) дугу порядка \(2R_+\), в «сильном» — \(2R_-\). Разность и есть смещение центра за период:
\[ \Delta y\sim 2(R_+-R_-)\sim 4\alpha R_0^2. \]Период \(T=2\pi m_e/(eB_0)\), поэтому
\[ v_{\text{др}}\sim\frac{\Delta y}{T}\sim\frac{\alpha R_0^2 eB_0}{2\pi m_e}\sim\alpha R_0 v\sim\frac{\alpha m_ev^2}{eB_0}. \]Численный коэффициент порядка единицы; задача просит оценку, и в ответе стоит
\[ v_{\text{др}}\approx\frac{\alpha m_ev^2}{eB_0}. \](Точная формула градиентного дрейфа даёт \(\frac12\alpha m v_\perp^2/(eB)\) — тот же порядок.)