Савченко · Глава 10. Движение заряженных частиц в сложных полях · § 10.2. Дрейфовое движение частиц

Савченко, задача 10.2.5

Задача 10.2.5скорость E×B-дрейфа

Условие

В скрещенных электрическом и магнитном полях \(E\) и \(B\) частица «дрейфует» поперёк обоих полей. Чему равна дрейфовая скорость частицы?

_др E B⊙ циклоида: качение окружности со скоростью E/B

К задаче 10.2.5. В скрещенных полях частица рисует циклоиду, центр которой едет со скоростью \(E/B\).

▶Посмотреть решениеСкрыть решение

Решение

Идея Перейдём в систему, движущуюся со скоростью \(v_0\) поперёк \(\mathbf{E}\) и \(\mathbf{B}\). В ней появляется добавка к электрическому полю \(\mathbf{v}_0\times\mathbf{B}\). Подберём \(v_0\) так, чтобы полное \(\mathbf{E}'\) исчезло — останется чистое \(B\), и частица будет просто крутиться на месте. В лаборатории это кручение плюс снос со скоростью \(v_0\).

Поля скрещены: \(\mathbf{E}\perp\mathbf{B}\). Ищем скорость \(\mathbf{v}_{\text{др}}\), перпендикулярную обоим. В системе, едущей с этой скоростью (нерелятивистски),

\[ \mathbf{E}'=\mathbf{E}+\mathbf{v}_{\text{др}}\times\mathbf{B}. \]

Требуем \(\mathbf{E}'=0\):

\[ \mathbf{v}_{\text{др}}\times\mathbf{B}=-\mathbf{E}. \]

Вектор \(\mathbf{v}_{\text{др}}\) перпендикулярен \(\mathbf{B}\), поэтому

\[ v_{\text{др}}B=E\qquad\Longrightarrow\qquad v_{\text{др}}=\frac{E}{B}. \]

Направление: \(\mathbf{v}_{\text{др}}=\mathbf{E}\times\mathbf{B}/B^2\) — одно и то же для электрона и протона. Знак заряда сидит только в том, в какую сторону частица крутится вокруг дрейфующего центра.

Проверка. Это ровно скорость «прямолинейного» движения из 10.2.4: если в дрейфовой системе частица покоится, в лаборатории она едет по прямой со скоростью \(E/B\). Если она там крутится — в лаборатории циклоида с той же средней скоростью. Ответ не зависит ни от \(q\), ни от \(m\), ни от начальной скорости (начальная скорость задаёт только радиус циклоиды).

Ответ\(v_{\text{др}}=E/B\).

Следующая задача 10.2.6 →