Докажите, что заряженная частица в скрещенных электрическом и магнитном полях обращается с частотой \(\omega=qB/m\) вокруг центра, который движется с дрейфовой скоростью (и поэтому скорость частицы в любой момент времени равна векторной сумме линейной скорости вращения вокруг мгновенного центра и дрейфовой скорости).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Уравнение движения
\[ m\dot{\mathbf{v}}=q\mathbf{E}+q\mathbf{v}\times\mathbf{B}. \]Положим \(\mathbf{v}=\mathbf{u}+\mathbf{v}_{\text{др}}\), \(\mathbf{v}_{\text{др}}=\mathbf{E}\times\mathbf{B}/B^2=\mathrm{const}\) (поля однородны). Тогда \(\dot{\mathbf{v}}=\dot{\mathbf{u}}\) и
\[ m\dot{\mathbf{u}}=q\mathbf{E}+q(\mathbf{u}+\mathbf{v}_{\text{др}})\times\mathbf{B}=q\mathbf{E}+q\mathbf{u}\times\mathbf{B}+q\mathbf{v}_{\text{др}}\times\mathbf{B}. \]Но \(\mathbf{v}_{\text{др}}\times\mathbf{B}=(\mathbf{E}\times\mathbf{B})\times\mathbf{B}/B^2=-\mathbf{E}\) (потому что \(\mathbf{E}\perp\mathbf{B}\): \((\mathbf{E}\times\mathbf{B})\times\mathbf{B}=-B^2\mathbf{E}\)). Значит \(q\mathbf{E}+q\mathbf{v}_{\text{др}}\times\mathbf{B}=0\), и остаётся
\[ m\dot{\mathbf{u}}=q\mathbf{u}\times\mathbf{B}. \]Это уравнение движения в одном только магнитном поле. Его решение — равномерное вращение с циклотронной частотой \(\omega=qB/m\) в плоскости, перпендикулярной \(\mathbf{B}\). Центр вращения в системе дрейфа покоится, в лаборатории едет со скоростью \(\mathbf{v}_{\text{др}}\). Сложение скоростей
\[ \mathbf{v}(t)=\mathbf{v}_{\text{др}}+\boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{\rho}(t) \]есть сумма дрейфа и линейной скорости вращения вокруг мгновенного центра.