Точечный источник света с помощью телескопа, имеющего объектив диаметра \(D_0\), может быть замечен с расстояния \(L_0\). С какого расстояния можно рассмотреть этот источник в телескоп с объективом диаметра \(D\)?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Поток в объектив \(\Phi\propto D^2/L^2\). Площадь пятна Эйри \(\propto(f/D)^2\), но отношение \(\Phi/S_\text{пятна}\) после сокращения фокуса (яркость в фокальной плоскости)
\[ E_\text{пятна}\propto\frac{D^4}{L^2}. \]Порог: \(D_0^4/L_0^2=D^4/L^2\), откуда
\[ L=L_0\left(\frac D{D_0}\right)^2. \]Именно четвёртая степень, а не вторая: мало того что света больше, так ещё и пятно мельче.
Четвёртая степень диаметра — не жадность формулы, а два разных эффекта сразу. Объектив площади \(\propto D^2\) с расстояния \(L\) собирает поток \(\propto D^2/L^2\). Дифракционный диск Эйри имеет угловой радиус \(\sim\lambda/D\), линейный \(\sim\lambda f/D\), площадь \(\propto1/D^2\). Освещённость пятна — поток на эту площадь — растёт как \(D^4/L^2\). Порог «заметить звезду» есть одна и та же освещённость пятна на фоне, откуда \(L\propto D^2\). Телескоп вдвое шире видит вчетверо дальше.
Если бы мешала только нехватка фотонов (небо идеально чёрное), хватило бы \(L\propto D\). Днём и в сумерках фон протяжённого неба оптика не усиливает (теорема о яркости), а звезду усиливает и сбором, и концентрацией — итого \(D^2\). Число: искатель 5 см и любительский 20 см, отношение диаметров 4, дальность 16. Тусклую переменную, едва видную в искатель с \(L_0\), большой инструмент возьмёт с \(16L_0\). Для протяжённой туманности поверхностная яркость не растёт, и эта роскошь пропадает.