Точечный источник света \(S\) расположен на расстоянии \(a < 4f\) от плоского экрана. Как изменится освещённость экрана в точке \(A\), если между источником и экраном поставить линзу с фокусным расстоянием \(f\), на расстоянии \(x\) от источника? При каком \(x\) освещённость в точке \(A\) будет максимальной?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Линза в \(x\) от \(S\), экран в \(a-x\) от линзы. Образ: \(v=xf/(x-f)\). На экране конус «линза \(\to\) образ» даёт пятно с коэффициентом \(|1-(a-x)/v|\). Поток через линзу \(I\cdot\pi R^2/x^2\), откуда освещённость в центре (точка \(A\) на оси)
\[ E=\frac I{\bigl[x\bigl(1-(a-x)/v\bigr)\bigr]^2}=\frac{I f^2}{\bigl[xf-(a-x)(x-f)\bigr]^2}. \]Но \(E_0=I/a^2\), поэтому
\[ E=E_0\frac{a^2 f^2}{\bigl[xf-(a-x)(x-f)\bigr]^2}. \]Знаменатель: \(xf-(a-x)(x-f)=x^2-ax+af\). Парабола с ветвями вверх, минимум при \(x=a/2\). Дискриминант \(a^2-4af=a(a-4f)<0\): нуля нет, образ на экран не садится. Значит \(E\) максимальна при \(x=a/2\).
Условие \(a<4f\) — это запрет на формулу Бесселя. Два положения линзы, дающие резкий образ на фиксированном отрезке \(a\), существуют только при \(a\ge4f\). Знаменатель освещённости \(x^2-ax+af\) — парабола, минимум при \(x=a/2\) равен \(af-a^2/4=a(f-a/4)\). При \(a<4f\) этот минимум строго положителен: образ на экран не садится никогда, пятно рассеяния не стягивается в точку, \(E\) остаётся конечной. Самое узкое пятно — и самый яркий центр — как раз когда линза посередине.
Во сколько раз выигрываем в максимуме? \(E_\max/E_0=f^2/(f-a/4)^2\). Для \(a=2f\) это ровно 4: линза посередине делает точку \(A\) вчетверо ярче, чем без неё. При \(x\to0\) или \(x\to a\) линза «в источнике» или «на экране», формула даёт \(E\to E_0=I/a^2\) — линза перестаёт работать как линза. При \(a=4f\) минимум знаменателя нулевой, и в идеале \(E\to\infty\): это как раз совпадение \(d=d'=2f\).