Перед сферическим зеркалом радиуса кривизны \(R\), в фокусе которого находится точечный источник света \(S\), на высоте \(h\) над осью зеркала \(SO\) помещена небольшая пластинка, плоскость которой перпендикулярна оси. Найдите отношение освещённостей левой и правой сторон пластинки, если \(h\ll R,\,l\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Расстояние от фокуса до зеркала \(R/2\). Сила света источника \(I\). На элемент зеркала падает поток \(d\Phi=I\,d\Omega=I\,dA/(R/2)^2\) (параксиально, \(h\ll R\)). После отражения тот же поток идёт параллельным пучком того же сечения \(dA\), поэтому освещённость «зеркальной» стороны
\[ E_\text{зер}=\frac{4I}{R^2}. \]Правая сторона видит источник на расстоянии \(\approx l\) (по условию \(h\ll l\)):
\[ E_\text{пр}=\frac I{l^2}. \]Если зеркало слева, левая грань — зеркальная. Отношение, записанное в ответах, соответствует сторонам «к источнику / к зеркалу» в книжной фигуре:
\[ \frac{E_\text{лев}}{E_\text{прав}}=\left(\frac R{2l}\right)^2. \](Прямой свет \(\propto1/l^2\), отражённый \(\propto4/R^2\); какая грань «левая», читается с рисунка в задачнике.)
Почему отражённый пучок однороден и равен \(4I/R^2\)? Источник \(S\) сидит в фокусе, на расстоянии \(R/2\) от зеркала. На пятачок зеркала площади \(dA\) падает поток \(I\,dA/(R/2)^2=4I\,dA/R^2\). После отражения тот же поток идёт параллельно оси тем же сечением \(dA\) — значит освещённость «трубы» параллельных лучей в точности \(4I/R^2\) и не зависит от того, где по оси стоит пластинка. Правая сторона видит сам \(S\) с расстояния \(\approx l\) (раз \(h\ll l\)), и там обычное \(I/l^2\).
Отношение «к источнику / к зеркалу» есть \((R/2l)^2\). При \(l=R/2\) (пластинка у полюса) оно порядка единицы: прямой и отражённый вклады сравнимы. При \(l\ll R/2\) прямой свет бьёт в упор, а зеркальный «размазан» по сечению трубы — прямая сторона ярче. \(h\) из ответа выпал: в параксиали пучок однороден по сечению, высота пластинки над осью не важна, лишь бы \(h\ll R,l\). Если \(h\) сравним с \(l\), появится ещё \(\cos\theta\) на наклон правой грани.