Как изменится освещённость изображения Солнца, даваемого плоско-выпуклой линзой, если линзу разрезать по диаметру и сложить плоскими сторонами?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Плоско-выпуклая: \(1/f=(n-1)/R\). Разрезали по диаметру и сложили плоскими гранями — получилась двояковыпуклая с теми же \(R\),
\[ \frac1{f'}=(n-1)\frac2R=\frac2f,\qquad f'=f/2. \]Две полулинзы, сложенные плашмя, в плане дают полукруг: световая площадь \(S'=S/2\). Изображение Солнца имеет площадь \(\propto (f\alpha)^2\), поэтому
\[ \frac{E'}E=\frac{S'/S}{(f'/f)^2}=\frac{1/2}{1/4}=2. \]Освещённость вырастет в два раза. (Само пятно станет вчетверо меньше площадью и соберёт вдвое меньше света.)
Освещённость солнечного пятна \(E\propto S/f^2\) собирается из двух кусков. Мощность, пойманная линзой, \(\Phi\propto S\). Угловой размер Солнца \(\alpha\approx32'\) один и тот же, линейный размер образа \(f\alpha\), площадь пятна \(\propto f^2\). После склейки плоскими гранями линза стала двояковыпуклой: \(1/f'=(n-1)(1/R+1/R)=2/f\), то есть \(f'=f/2\), пятно вчетверо меньше. Но в плане две половины перекрываются — световая площадь \(S'=S/2\), мощности вдвое меньше. Итого \(E'/E=(1/2)/(1/4)=2\).
Если бы половины поставили рядом, не перекрывая, \(S\) сохранилась бы и выигрыш был бы четырёхкратный. Предел \(n\to1\): обе линзы, и целая, и склеенная, перестают собирать (\(f\to\infty\)), отношение формально держится, но сами \(E,E'\to0\). Энергия не появляется из ниоткуда: пятно вчетверо меньше площадью и собрало вдвое меньше света — плотность удвоилась, интеграл упал.