В фокусе сферического зеркала помещён сосуд, содержащий 100 г воды. Каков должен быть диаметр зеркала, чтобы вода выкипела через 1 мин, если зеркало направить прямо на Солнце? Плотность потока энергии от Солнца 0,14 Вт/см². Потерями пренебречь.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Теплота парообразования \(L\approx2{,}26\cdot10^6\) Дж/кг, для 100 г
\[ Q=0{,}1\cdot2{,}26\cdot10^6=2{,}26\cdot10^5\ \text{Дж}. \]За \(t=60\) с нужна мощность \(P=Q/t=3{,}77\cdot10^3\) Вт. Поток \(0{,}14\) Вт/см² \(=1{,}4\cdot10^3\) Вт/м²:
\[ 1{,}4\cdot10^3\cdot\frac{\pi D^2}4=3{,}77\cdot10^3,\qquad D^2=\frac{3{,}77\cdot10^3\cdot4}{1{,}4\cdot10^3\cdot\pi}\approx3{,}43,\qquad D\approx1{,}85\ \text{м}. \]«Выкипела» в задаче значит: вода уже у кипения, греть от комнатной не надо, нужна только теплота парообразования \(L=2{,}26\) МДж/кг. На 100 г это \(Q=226\) кДж, за минуту — мощность 3,77 кВт. Солнечный поток у земли 0,14 Вт/см² \(=1{,}4\) кВт/м², откуда площадь зеркала \(S=3{,}77/1{,}4\approx2{,}7\) м² и диаметр \(D\approx1{,}85\) м. Зеркало-полтора метра на дворе и правда вскипятит кружку «в фокусе» за минуту, если не дует.
Если честно греть ещё и от \(20^\circ\)C до \(100^\circ\)C, добавится \(mc\Delta T=33\) кДж (\(\approx15\%\)), диаметр вырастет до \(\approx2{,}0\) м — того же порядка. Потери: чёрный сосуд при \(100^\circ\)C излучает \(\sigma T^4\approx1{,}1\) кВт/м²; на кастрюльке 10 см это \(\sim30\) Вт против 3,8 кВт зеркала, ими задача и велит пренебречь. Предел \(t\to\infty\): достаточно крошечного зеркальца, \(D\propto1/\sqrt t\). При \(t=2\) мин хватит \(D\approx1{,}3\) м.