По известной легенде жители Сиракуз под руководством Архимеда сожгли корабли римского флота, фокусируя на них свет Солнца с помощью плоских зеркальных щитов. Принимая, что диаметр щита \(d=1\) м, расстояние до кораблей \(x=500\) м и температура, при которой загорается дерево, \(T\approx1000\) К, оцените необходимое число щитов.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Яркость Солнца \(B=\sigma T_\odot^4/\pi\), \(T_\odot\approx6\cdot10^3\) К. Один щит с корабля виден под \(\Omega=\pi(d/2)^2/x^2\). Если в щите видно Солнце (луч направлен верно), освещённость от одного щита
\[ E_1=B\Omega=\sigma T_\odot^4\cdot\frac{d^2}{4x^2}. \]\(N\) щитов: \(E=N E_1\). Для температуры \(T\) нужно \(E\sim\sigma T^4\):
\[ N\sim\frac{4x^2}{d^2}\left(\frac T{T_\odot}\right)^4=\frac{4\cdot500^2}{1}\left(\frac{1000}{6000}\right)^4=\frac{10^6}{1296}\approx770. \]Каждый щит диаметра \(d=1\) м с корабля на \(x=500\) м виден под телесным углом \(\Omega=\pi(d/2)^2/x^2\). Если в щите видно Солнце (луч наведён), щит светит яркостью Солнца \(B=\sigma T_\odot^4/\pi\), и один даёт освещённость \(E_1=\sigma T_\odot^4\cdot d^2/(4x^2)\). Дереву, чтобы загореться при \(T\approx1000\) К, нужен поток порядка \(\sigma T^4\). Делим: \(N\sim(4x^2/d^2)(T/T_\odot)^4\). Подстановка \(T_\odot\approx6000\) К даёт \((1/6)^4=1/1296\) и \(4\cdot500^2=10^6\), откуда \(N\approx770\).
Семьсот полированных щитов по метру — целая когорта на стенке гавани. Легенда на грани: реальное дерево загорается скорее от длительных \(500^\circ\)C, плюс качка и ветер. Если взять \(T=600\) К, \(N\) упадёт в \((1000/600)^4\approx8\) раз, до сотни щитов. Предел \(x\to0\): хватит одного зеркала в упор. При \(T=T_\odot\) формула требует закрыть четверть сферы — ровно тот потолок яркости, что в задаче 13.4.16. Угловой размер щита \(d/x=0{,}002\) рад меньше солнечного диска (\(0{,}009\)): в щите виден кусок Солнца, не целое, но \(E=B\Omega_\text{щита}\) от этого не меняется.