В крышке закрытого ящика, высота которого 1 м, имеется круглое отверстие. Изменится ли освещённость дна под отверстием, если в отверстие вставить линзу, оптическая сила которой равна 1 дптр? Ящик стоит под открытым небом, равномерно затянутым пеленой облаков.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Без линзы точка под отверстием диаметра \(D\) на глубине 1 м видит дырку под углом \(\Omega=\pi(D/2)^2/1^2\), освещённость \(E=B\Omega\).
С линзой \(f=1\) м дно — фокальная плоскость: каждая её точка соответствует направлению на небе. Освещённость изображения протяжённого источника \(E=B\cdot\Omega_\text{линзы}\), а оправа линзы — то же отверстие. \(\Omega\) тот же, \(E\) та же.
Это общее правило: яркость облаков линза не увеличит (см. 13.4.16), дырка одна и та же — освещённость не меняется.
Пасмурное небо — поверхность почти постоянной яркости \(B\). Освещённость точки на дне есть \(B\), умноженная на телесный угол «окна». Без линзы дырка диаметра \(D\) на глубине 1 м даёт \(\Omega=\pi(D/2)^2\). С линзой в 1 дптр дно попадает в фокальную плоскость: каждая точка дна соответствует направлению на небе, и освещённость изображения протяжённого источника снова \(E=B\cdot\Omega_\text{линзы}\). Оправа — то же отверстие, \(\Omega\) тот же, \(E\) та же. Яркость облаков линза не поднимает (см. 13.4.16).
Число: дырка 10 см, \(\Omega\approx8\cdot10^{-3}\) ср; типичная яркость сплошной облачности \(B\sim3\cdot10^3\) кд/м² даёт \(E\sim24\) лк — тусклая комната. Если бы небо было пятнистым, линза нарисовала бы на дне картину облаков, а дырка оставила бы размытое пятно: вот тогда освещённость под центром изменилась бы. Равномерная пелена специально убивает эту разницу. Предел \(D\to0\): оба варианта стремятся к нулю одинаково, как \(\Omega\).