Савченко · Глава 2. Динамика · § 2.1. Законы Ньютона

Савченко, задача 2.1.16

Задача 2.1.16последовательные пружины

Условие

Тело массы \(m\) прикреплено к двум соединённым последовательно пружинам жёсткости \(k_1\) и \(k_2\). К свободному концу цепочки пружин приложена постоянная сила \(F\). Каково суммарное удлинение пружин, если колебания уже прекратились?

К задаче 2.1.16. Пружины соединены последовательно; сила \(F\) приложена к свободному концу цепочки.

▶Посмотреть решениеСкрыть решение

Решение

Идея В цепочке лёгких пружин сила передаётся без изменения: обе пружины натянуты одной и той же силой \(F\). Удлинения складываются.

Колебания затухли — тело движется с постоянным ускорением \(a = F/m\) (внешняя сила одна). Пружины невесомы, поэтому натяжение вдоль всей цепочки одинаково и равно приложенной силе \(F\) (иначе у невесомой пружины было бы бесконечное ускорение).

Удлинения: \[ x_1 = \frac{F}{k_1},\qquad x_2 = \frac{F}{k_2},\qquad x = x_1 + x_2 = F\,\frac{k_1 + k_2}{k_1 k_2}. \]

Проверка. Это и есть правило последовательного соединения: эффективная жёсткость \(k = \dfrac{k_1k_2}{k_1+k_2}\) — мягче каждой из пружин ✓ (сравните с параллельным \(k_1+k_2\) из задачи 2.1.15).

Ответ \( x = F\,\dfrac{k_1+k_2}{k_1 k_2} \).

Следующая задача 2.1.17 →