На горизонтальной доске лежит брусок массы \(m\). Доску медленно наклоняют.
Определите зависимость силы трения, действующей на брусок, от угла наклона
доски \(\alpha\). Коэффициент трения \(\mu\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Пока брусок лежит, трение покоя равно скатывающей силе \(mg\sin\alpha\).
После критического угла (\(\tg\alpha = \mu\)) брусок ползёт, и трение
скольжения равно \(\mu m g\cos\alpha\) — оно убывает с ростом угла.
Сила трения растёт как \(mg\sin\alpha\), достигает максимума при
\(\alpha = \arctg\mu\) и затем спадает как \(\mu mg\cos\alpha\).
Покой (\(\tg\alpha \le \mu\)). Брусок неподвижен, вдоль доски:
\[ F_{\text{тр}} = m g\sin\alpha. \]
Это возможно, пока \(mg\sin\alpha \le \mu m g\cos\alpha\), т.е. до угла
\(\alpha^* = \arctg\mu\).
Скольжение (\(\tg\alpha \ge \mu\)). Теперь трение скольжения:
\[ F_{\text{тр}} = \mu N = \mu m g\cos\alpha. \]
Наибольшее значение — в точке смены режимов:
\[ F_{\max} = mg\sin(\arctg\mu) = \frac{\mu\,mg}{\sqrt{1+\mu^2}}
= \frac{mg}{\sqrt{1 + \mu^{-2}}}. \]
Проверка. При \(\alpha = 90^\circ\) трение нулевое
(прижатия нет) ✓; при \(\alpha = 0\) тоже нулевое (нечего держать) ✓ —
максимум обязан быть внутри, и он ровно на границе покоя и скольжения.
Ответ
\( F_{\text{тр}} = mg\sin\alpha \) при \(\tg\alpha \le \mu\);
\( F_{\text{тр}} = \mu mg\cos\alpha \) при \(\tg\alpha \ge \mu\)
(график с максимумом \(mg\mu/\sqrt{1+\mu^2}\) при \(\alpha = \arctg\mu\)).