Ленточный подъёмник образует угол \(\alpha\) с горизонтом. С каким
максимальным ускорением может подниматься ящик на таком подъёмнике, если
коэффициент трения равен \(\mu\)? Лента не прогибается.
К задаче 2.1.21. Ящик едет вверх вместе с лентой; вдоль ленты
его разгоняет только трение.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Ящик разгоняет вверх по ленте единственная сила — трение покоя о ленту.
Его предел \(\mu m g\cos\alpha\) и ограничивает ускорение.
Оси: вдоль ленты (вверх) и поперёк. Поперёк: \(N = mg\cos\alpha\).
Вдоль ленты на ящик действуют трение \(F_{\text{тр}}\) (вверх — лента тащит
ящик) и скатывающая сила \(mg\sin\alpha\):
\[ m a = F_{\text{тр}} - m g \sin\alpha. \]
Трение покоя не превосходит \(\mu N\):
\[ a \le \frac{\mu m g\cos\alpha - m g\sin\alpha}{m}
\quad\Longrightarrow\quad
a_{\max} = g\,(\mu\cos\alpha - \sin\alpha). \]
Проверка. При \(\tg\alpha = \mu\): \(a_{\max}=0\) —
ящик и держится-то на пределе ✓ (круче подъёмник с таким \(\mu\) не построишь).
При \(\alpha = 0\): \(a_{\max} = \mu g\) — разгон груза на горизонтальной
ленте ✓.
Ответ
\( a_{\max} = g\,(\mu\cos\alpha - \sin\alpha) \)
(подъёмник работает лишь при \(\tg\alpha < \mu\)).