Через какое время скорость тела, которому сообщили вверх по наклонной плоскости скорость \(v\), снова будет равна \(v\)? Коэффициент трения \(\mu\), угол между плоскостью и горизонтом \(\alpha\), \(\tg\alpha > \mu\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Подъём. Против движения работают и скатывающая сила, и трение: \[ a_1 = g(\sin\alpha + \mu\cos\alpha). \] Тело останавливается через время \[ t_1 = \frac{v}{a_1} = \frac{v}{g(\sin\alpha + \mu\cos\alpha)}. \]
Спуск. Так как \(\tg\alpha > \mu\), тело не застрянет и поедет вниз, но теперь трение направлено вверх по склону: \[ a_2 = g(\sin\alpha - \mu\cos\alpha). \] Скорость снова станет равна \(v\) через время \[ t_2 = \frac{v}{a_2} = \frac{v}{g(\sin\alpha - \mu\cos\alpha)}. \]
Складываем и приводим к общему знаменателю: \[ t = t_1 + t_2 = \frac{v}{g}\cdot\frac{(\sin\alpha - \mu\cos\alpha) + (\sin\alpha + \mu\cos\alpha)} {(\sin\alpha + \mu\cos\alpha)(\sin\alpha - \mu\cos\alpha)} = \frac{2v\sin\alpha}{g\,(\sin^2\alpha - \mu^2\cos^2\alpha)}. \]