Цилиндр скользит по жёлобу, имеющему вид двугранного угла с раствором \(\alpha\). Ребро двугранного угла наклонено под углом \(\beta\) к горизонту. Плоскости двугранного угла образуют одинаковые углы с горизонтом. Определите ускорение цилиндра. Коэффициент трения между цилиндром и поверхностью жёлоба \(\mu\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Поперёк ребра. В сечении, перпендикулярном ребру, надо уравновесить поперечную часть тяжести \(mg\cos\beta\). Каждая нормаль \(N\) отклонена от биссектрисы сечения на угол \(90^\circ - \alpha/2\), поэтому вдоль биссектрисы от двух стенок собирается \(2N\sin(\alpha/2)\): \[ 2N\sin\frac{\alpha}{2} = mg\cos\beta \quad\Longrightarrow\quad N = \frac{mg\cos\beta}{2\sin(\alpha/2)}. \]
Вдоль ребра. Скатывает \(mg\sin\beta\), тормозят две силы трения по \(\mu N\): \[ ma = mg\sin\beta - 2\mu N = mg\sin\beta - \frac{\mu\, mg\cos\beta}{\sin(\alpha/2)}, \] \[ a = g\left(\sin\beta - \frac{\mu\cos\beta}{\sin(\alpha/2)}\right). \] Если \(\mu \ge \tg\beta\,\sin(\alpha/2)\), выражение неположительно — цилиндр в жёлобе не скользит: \(a = 0\).