По деревянным сходням, образующим угол \(\alpha\) с горизонтом, втаскивают за привязанную к нему верёвку ящик. Коэффициент трения ящика о сходни \(\mu\). Под каким углом к горизонту следует тянуть верёвку, чтобы с наименьшим усилием втащить ящик?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Оси вдоль и поперёк сходней. Втаскиваем равномерно; верёвка под углом \(\gamma\) к поверхности: \[ T\cos\gamma = mg\sin\alpha + \mu N, \qquad N = mg\cos\alpha - T\sin\gamma. \] Отсюда \[ T = \frac{mg(\sin\alpha + \mu\cos\alpha)}{\cos\gamma + \mu\sin\gamma}. \]
Максимум знаменателя. Обозначим \(\varphi = \arctg\mu\) (угол трения); тогда \(\mu = \tg\varphi\) и \[ \cos\gamma + \mu\sin\gamma = \frac{\cos(\gamma - \varphi)}{\cos\varphi} = \sqrt{1+\mu^2}\,\cos(\gamma - \varphi). \] Максимум — при \(\gamma = \varphi = \arctg\mu\), и он равен \(\sqrt{1+\mu^2}\).
Значит, тянуть надо под углом к горизонту \[ \beta = \alpha + \arctg\mu, \qquad T_{\min} = \frac{mg(\sin\alpha + \mu\cos\alpha)}{\sqrt{1+\mu^2}}. \]