Человек массы \(m_1\), оставаясь на месте, тянет за верёвку груз массы \(m_2\). Коэффициент трения о горизонтальную плоскость равен \(\mu\). При какой наименьшей силе натяжения верёвки груз стронется с места? Под каким углом к горизонтальной плоскости должна быть направлена верёвка?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Груз на грани сдвига. Верёвка под углом \(\alpha\): \[ T\cos\alpha = \mu(m_2 g - T\sin\alpha) \quad\Longrightarrow\quad T = \frac{\mu m_2 g}{\cos\alpha + \mu\sin\alpha} = \frac{\mu m_2 g}{\sqrt{1+\mu^2}\,\cos(\alpha - \varphi)}, \] где \(\varphi = \arctg\mu\). Само по себе это минимально при \(\alpha = \varphi\): \(T_{\min} = \dfrac{\mu m_2 g}{\sqrt{1+\mu^2}}\).
А устоит ли человек? На него верёвка действует силой \(T\) вперёд-вниз: прижимает (\(N_1 = m_1 g + T\sin\alpha\)) и тянет (\(T\cos\alpha\)). Условие «остаться на месте»: \[ T\cos\alpha \le \mu(m_1 g + T\sin\alpha) \quad\Longleftrightarrow\quad T(\cos\alpha - \mu\sin\alpha) \le \mu m_1 g. \] Подставив \(\alpha = \varphi\) и \(T_{\min}\), получаем условие применимости: \[ m_1 \ge m_2\,\frac{1-\mu^2}{1+\mu^2}. \]
Лёгкий человек. Если \(m_1 < m_2\dfrac{1-\mu^2}{1+\mu^2}\), надо поднимать угол выше \(\varphi\), пока оба условия не станут предельными: \[ T(\cos\alpha + \mu\sin\alpha) = \mu m_2 g, \qquad T(\cos\alpha - \mu\sin\alpha) = \mu m_1 g. \] Складывая и вычитая: \[ T\cos\alpha = \frac{\mu(m_1+m_2)g}{2}, \qquad T\sin\alpha = \frac{(m_2-m_1)g}{2}. \] Отсюда \[ \tg\alpha = \frac{m_2 - m_1}{\mu\,(m_1 + m_2)}, \qquad T_{\min} = \frac{g}{2}\sqrt{\mu^2 (m_1+m_2)^2 + (m_2-m_1)^2}. \]
при \(m_1 < m_2\dfrac{1-\mu^2}{1+\mu^2}\): \( T_{\min} = \dfrac{g}{2}\sqrt{\mu^2(m_1{+}m_2)^2 + (m_2{-}m_1)^2} \), \(\alpha = \arctg\dfrac{m_2-m_1}{\mu(m_1+m_2)}\).