Тело массы \(m_1\) лежит на доске массы \(m_2\), находящейся на гладкой горизонтальной плоскости. Коэффициент трения между телом и доской \(\mu\).
а. Какую силу надо приложить к доске, чтобы тело соскользнуло с неё? За какое время тело соскользнёт, если к доске приложена сила \(F_0\), а длина доски равна \(l\)?
б. С каким ускорением движутся тело и доска, если сила \(F_0\) действует на тело массы \(m_1\)?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
а. Когда начнётся проскальзывание. Вместе система имела бы ускорение \(a = \dfrac{F}{m_1+m_2}\); телу \(m_1\) его сообщает только трение, которому нужно \(m_1 a \le \mu m_1 g\). Отсюда предел: \[ F \le \mu(m_1 + m_2)\,g. \] Тело соскользнёт, если \[ F > \mu(m_1+m_2)\,g. \]
Время соскальзывания при силе \(F_0\). При проскальзывании: тело везёт трение скольжения, доску тормозит его реакция: \[ a_1 = \mu g, \qquad a_2 = \frac{F_0 - \mu m_1 g}{m_2}. \] Относительное ускорение доски относительно тела: \[ a_{\text{отн}} = a_2 - a_1 = \frac{F_0 - \mu m_1 g - \mu m_2 g}{m_2} = \frac{F_0 - \mu(m_1+m_2)g}{m_2}. \] Доска должна «выехать» из-под тела на свою длину \(l\): \[ l = \frac{a_{\text{отн}}t^2}{2} \quad\Longrightarrow\quad t = \sqrt{\frac{2l\,m_2}{F_0 - \mu(m_1+m_2)g}}. \]
б. Сила приложена к телу \(m_1\). Теперь доску \(m_2\) везёт только трение от тела: вместе они поедут, лишь пока \(m_2\cdot\dfrac{F_0}{m_1+m_2} \le \mu m_1 g\), т.е. при \(F_0 \le \mu m_1 g\,\dfrac{m_1+m_2}{m_2}\) — тогда \(a_1 = a_2 = \dfrac{F_0}{m_1+m_2}\). Если сила больше (в частности, любая сила из пункта «а» при \(m_1 \le m_2\)), тело скользит по доске: \[ a_1 = \frac{F_0 - \mu m_1 g}{m_1}, \qquad a_2 = \frac{\mu m_1 g}{m_2}. \]