Савченко · Глава 2. Динамика · § 2.1. Законы Ньютона

Савченко, задача 2.1.32

Условие

Определите силу, действующую на вертикальную стенку со стороны клина, если на него положили груз массы \(m\). Угол при основании клина \(\alpha\). Коэффициент трения между грузом и поверхностью клина \(\mu\). Трения между полом и клином нет.

▶Посмотреть решениеСкрыть решение

Решение

Идея Смотрим на систему «клин + груз» целиком. Единственная горизонтальная внешняя сила — реакция стенки. Значит, она равна \(m\ddot x\) груза: если груз съезжает — стенка давит, если всё покоится — сила стенки… ноль!

Пол под клином гладкий; клин упирается вертикальной гранью в стенку. Груз соскальзывает вправо-вниз.

Если груз скользит (\(\tg\alpha > \mu\)). Клин зажат между стенкой и полом и стоит; груз съезжает по нему с ускорением \[ a = g(\sin\alpha - \mu\cos\alpha) \] вдоль наклонной, то есть с горизонтальной составляющей \(a\cos\alpha\), направленной от стенки.

Для системы «клин + груз» по горизонтали внешняя сила одна — давление стенки \(F\) (пол гладкий и давит лишь вертикально). Второй закон Ньютона по горизонтали: \[ F = m\,a\cos\alpha = mg\cos\alpha\,(\sin\alpha - \mu\cos\alpha). \] По третьему закону клин давит на стенку с той же силой \(F\).

Если груз стоит (\(\tg\alpha \le \mu\)). Система покоится, горизонтальное ускорение нулевое — и потому \[ F = 0. \] Стенка вообще «не нужна»: гладкий пол не мешает клину, но и толкать его нечему.

Проверка. Прямой подсчёт по клину: груз давит на грань \(N = mg\cos\alpha\) (горизонтальная часть \(N\sin\alpha\) — к стенке) и тащит вдоль грани трением \(\mu N\) (горизонтальная часть \(\mu N\cos\alpha\) — от стенки): \(F = N\sin\alpha - \mu N\cos\alpha\) — то же самое ✓. При \(\mu = 0\): \(F = mg\sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{2}mg\sin 2\alpha\) — максимум при \(45^\circ\) ✓.

Ответ \( F = mg\cos\alpha\,(\sin\alpha - \mu\cos\alpha) \) при \(\tg\alpha \ge \mu\); \( F = 0 \) при \(\tg\alpha \le \mu\).

Следующая задача 2.1.33 →