Задача 2.1.34велосипедист против воздуха
Условие
Сила сопротивления воздуха, действующая на велосипедиста, пропорциональна квадрату его скорости: \(f = \alpha v^2\). На горизонтальной дороге наибольшая скорость велосипедиста составляет примерно \(20\) м/с. Оцените коэффициент пропорциональности \(\alpha\), если масса велосипедиста вместе с велосипедом \(70\) кг, а коэффициент трения между колёсами и дорогой \(0{,}4\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Что ограничивает наибольшую скорость? Разгоняет велосипед сила трения колёс
о дорогу, а её потолок — \(\mu m g\) (как у автомобиля в задаче 2.1.29).
На пределе она вся уходит на борьбу с воздухом.
На максимальной скорости разгон закончился — движущая сила равна сопротивлению: \[ \alpha v_{\max}^2 = F_{\text{движ}} \le \mu m g. \] Для оценки берём предел: \[ \alpha = \frac{\mu m g}{v_{\max}^2} = \frac{0{,}4\cdot 70\cdot 9{,}8}{20^2} = \frac{274}{400} \approx 0{,}7\ \text{кг/м}. \]
Проверка. Размерность: Н/(м/с)² = кг/м ✓. Прикидка
разумности: при \(v = 10\) м/с (обычная езда) сопротивление
\(f = 0{,}7\cdot100 = 70\) Н — многовато; на деле мышцы не выжимают
предельного сцепления, так что это именно верхняя оценка \(\alpha\)
(реально \(\alpha \sim 0{,}2{-}0{,}3\) кг/м).
Ответ
\( \alpha = \dfrac{\mu m g}{v_{\max}^2} \approx 0{,}7\ \text{кг/м} \) (оценка сверху).