Задача 2.1.36★ вязкое трение
Условие
Скорость тела массы \(m\) в вязкой жидкости убывает с пройденным расстоянием \(l\) по закону \(v = v_0 - \beta l\), где \(v_0\) — начальная скорость, а \(\beta\) — постоянный коэффициент. Как зависит сила вязкого трения, действующая на тело со стороны жидкости, от скорости тела?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Дано «скорость от пути», а нужна сила — то есть ускорение. Переведём одно в
другое на маленьком участке: потеря скорости на \(\Delta l\) всегда одна и та
же (\(\beta\,\Delta l\)), но время прохождения участка зависит от
скорости — быстрое тело теряет скорость быстрее.
На малом участке \(\Delta l\) скорость падает на \[ \Delta v = \beta\,\Delta l, \] а проходит тело этот участок за время \(\Delta t = \Delta l / v\). Значит, ускорение (по модулю): \[ a = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{\beta\,\Delta l}{\Delta l / v} = \beta\,v. \]
По второму закону Ньютона сила вязкого трения: \[ F = m a = \beta m v \] — прямо пропорциональна скорости (и направлена против неё).
Проверка. Размерность: \(\beta\) имеет размерность
1/с (из \(v = v_0 - \beta l\)), так что \(\beta m v\) — это кг·м/с² = Н ✓.
Обратная проверка: если \(F = \beta m v\), то за время \(\Delta t\) скорость
падает на \(\beta v\,\Delta t = \beta\,\Delta l\) — скорость линейно убывает
именно с путём ✓. Это фирменный признак линейного (стоксова) трения: тело
останавливается на конечном пути \(v_0/\beta\).
Ответ
\( F = \beta m v \) — сила пропорциональна скорости.