Сила сопротивления воздуха, действующая на капли дождя, пропорциональна произведению квадрата скорости капель на квадрат их радиуса: \(f = A\rho_0 r^2 v^2\), где \(\rho_0 \approx 1{,}3\) кг/м³ — плотность воздуха, а безразмерный коэффициент \(A\) для круглых капель порядка 1. Какие капли, крупные или мелкие, падают на землю с большей скоростью? Оцените скорость капли радиуса \(r = 1\) мм при падении её с большой высоты.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Баланс сил. Масса капли \(m = \frac{4}{3}\pi r^3 \rho_{\text{в}}\) (\(\rho_{\text{в}} = 1000\) кг/м³ — плотность воды). Установившаяся скорость: \[ \frac{4}{3}\pi r^3 \rho_{\text{в}}\, g = A\rho_0 r^2 v^2 \quad\Longrightarrow\quad v = \sqrt{\frac{4\pi \rho_{\text{в}}\, g\, r}{3A\rho_0}} \;\propto\; \sqrt{r}. \] Крупные капли быстрее ✓ (тот же вывод, что в задаче 2.1.33).
Число (\(A \approx 1\), \(r = 10^{-3}\) м): \[ v = \sqrt{\frac{4\pi\cdot 1000\cdot 9{,}8\cdot 10^{-3}}{3\cdot 1{,}3}} = \sqrt{\frac{123}{3{,}9}} \approx \sqrt{31{,}6} \approx 5{,}5\ \text{м/с}. \]