Сила сопротивления жидкости или газа, пропорциональная квадрату скорости движущегося тела, связана с образованием вихрей в среде вблизи поверхности этого тела. Сила сопротивления, пропорциональная скорости движущегося тела, связана с проскальзыванием слоёв среды при обтекании ею этого тела. Оба явления происходят одновременно. Почему тем не менее в тех или иных условиях можно принимать во внимание только один какой-либо вид сопротивления? По данным двух предыдущих задач оцените, при каком значении произведения радиуса круглой капли на её скорость оба вида сопротивления воздуха сравнимы по своему воздействию на движение капли.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Почему хватает одного слагаемого. Отношение сил \[ \frac{f_{\text{вихр}}}{f_{\text{вязк}}} = \frac{A\rho_0 r^2 v^2}{\gamma r v} = \frac{A\rho_0}{\gamma}\, r v \] растёт с \(rv\). Для крупного и быстрого (дождевая капля) оно ≫ 1 — вихревое сопротивление подавляет вязкое; для мелкого и медленного (туман) оно ≪ 1 — наоборот. Промежуточная область узка, поэтому почти всегда работает один закон.
Оценка \(\gamma\). Из задачи 2.1.38: капля \(r = 10^{-4}\) м падает с \(v = 1\) м/с, и её вес держит вязкая сила: \[ \gamma = \frac{mg}{rv} = \frac{\tfrac{4}{3}\pi r^3 \rho_{\text{в}}\, g}{rv} = \frac{4\pi\cdot 10^{-8}\cdot 10^3\cdot 9{,}8}{3\cdot 1} \approx 4\cdot 10^{-4}\ \text{кг/(м}\cdot\text{с)}. \]
Граница режимов — равенство сил: \[ A\rho_0 r^2v^2 = \gamma r v \quad\Longrightarrow\quad rv = \frac{\gamma}{A\rho_0} \approx \frac{4\cdot 10^{-4}}{1{,}3} \approx 3{-}4\cdot 10^{-4}\ \text{м}^2/\text{с}. \]