Лента горизонтального транспортёра движется со скоростью \(u\). На ленту по касательной к ней влетает шайба, начальная скорость \(v\) которой перпендикулярна краю ленты. Найдите максимальную ширину ленты, при которой шайба достигнет другого её края, если коэффициент трения между шайбой и лентой \(\mu\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
В системе ленты. Начальная скорость шайбы относительно ленты складывается из \(v\) (поперёк) и \(-u\) (вдоль — лента «уезжает» из-под неё): \[ w = \sqrt{v^2 + u^2}. \] Трение скольжения направлено строго против относительной скорости, и раз движение прямолинейное, его направление не меняется: шайба тормозит с ускорением \(\mu g\) на прямой и проходит до остановки (относительно ленты) путь \[ s = \frac{w^2}{2\mu g}. \]
Возвращаемся поперёк. Лента движется вдоль себя, поэтому поперечная координата шайбы в обеих системах одна и та же. Поперечная доля пути \(s\) равна \(v/w\): \[ d_{\max} = s\,\frac{v}{w} = \frac{w^2}{2\mu g}\cdot\frac{v}{w} = \frac{v\sqrt{v^2+u^2}}{2\mu g}. \] После остановки относительно ленты шайба едет вместе с ней — поперёк больше не продвигается. Если лента шире \(d_{\max}\), другого края шайба не достигнет.