Савченко · Глава 2. Динамика · § 2.1. Законы Ньютона

Савченко, задача 2.1.43

Задача 2.1.43★ втулка на вращающейся оси

Условие

Горизонтальную ось радиуса \(R\), вращающуюся с угловой скоростью \(\omega\), обжимает втулка, снабжённая противовесом, чтобы, перемещаясь вдоль оси, она не вращалась. Определите установившуюся скорость втулки под действием силы \(F\), приложенной к ней вдоль оси. Максимальная сила трения оси о втулку \(F_{\text{тр}} > F\).

▶Посмотреть решениеСкрыть решение

Решение

Идея Поверхность оси скользит под втулкой сразу двумя способами: по окружности (со скоростью \(\omega R\)) и вдоль оси (со скоростью \(v\) навстречу движению втулки). Сила трения \(F_{\text{тр}}\) направлена против суммарного скольжения — и лишь её осевая составляющая тащит втулку против \(F\). Установившаяся скорость — когда эта составляющая сравняется с \(F\).

Втулка скользит по поверхности оси со скоростью \((v,\ \omega R)\); трение \(F_{\text{тр}}\) направлено против этого вектора, и вдоль оси действует лишь его доля.

Скольжение. Относительно поверхности оси втулка движется вдоль оси со скоростью \(v\) и по окружности со скоростью \(\omega R\) (ось крутится, втулка — нет). Полная скорость скольжения: \[ w = \sqrt{v^2 + \omega^2 R^2}. \]

Установившееся движение. Трение скольжения \(F_{\text{тр}}\) направлено против суммарного скольжения; вдоль оси действует его составляющая \(F_{\text{тр}}\,v/w\). Она и уравновешивает силу \(F\): \[ F = F_{\text{тр}}\,\frac{v}{\sqrt{v^2+\omega^2R^2}}. \] Возводим в квадрат и решаем относительно \(v\): \[ F^2 v^2 + F^2\omega^2R^2 = F_{\text{тр}}^2 v^2 \quad\Longrightarrow\quad v = \frac{\omega R\,F}{\sqrt{F_{\text{тр}}^2 - F^2}}. \]

Проверка. Условие \(F_{\text{тр}} > F\) обязательно: иначе осевая доля трения не может дорасти до \(F\) даже при \(v \to \infty\) — установившегося режима нет. При \(F \ll F_{\text{тр}}\): \(v \approx \omega R F/F_{\text{тр}}\) — втулка ползёт медленно ✓. При \(\omega = 0\): \(v = 0\) — без вращения втулку, обжатую с \(F_{\text{тр}} > F\), не сдвинуть ✓. Это количественное оформление задач 2.1.41–2.1.42.

Ответ \( v = \dfrac{\omega R\,F}{\sqrt{F_{\text{тр}}^2 - F^2}} \).

Следующая задача 2.1.44 →