Определите установившуюся скорость тела, находящегося на наклонной плоскости, которая с большой частотой меняет одно направление своей скорости \(u\) на противоположное. Направление движения плоскости показано на рисунке. Коэффициент трения \(\mu\), угол наклона плоскости \(\alpha\), \(\tg\alpha < \mu\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Что удерживает тело. Пусть тело сползает вниз по линии наибольшего ската со скоростью \(v\). Относительно плоскости оно скользит со скоростью \[ w = \sqrt{v^2+u^2} \] (вниз \(v\), поперёк \(u\) — плоскость уезжает вбок). Сила трения \(\mu N = \mu m g\cos\alpha\) направлена против \(\vec w\), и вверх по скату приходится её доля \(v/w\).
Поперечная доля трения меняет знак вместе с \(u\) — тысячу раз в секунду, и поперёк тело только едва заметно дрожит. А вдоль ската установившееся (равномерное) сползание: \[ m g\sin\alpha = \mu m g\cos\alpha\cdot\frac{v}{\sqrt{v^2+u^2}}. \]
Сокращаем на \(mg\cos\alpha\) и возводим в квадрат: \[ \tg\alpha\,\sqrt{v^2+u^2} = \mu v \quad\Longrightarrow\quad \tg^2\alpha\,(v^2+u^2) = \mu^2v^2, \] \[ v^2(\mu^2 - \tg^2\alpha) = u^2\tg^2\alpha \quad\Longrightarrow\quad v = \frac{u\,\tg\alpha}{\sqrt{\mu^2 - \tg^2\alpha}}. \]