На плоскости, тангенс угла наклона которой равен коэффициенту трения, лежит монета. В горизонтальном направлении вдоль плоскости монете сообщили скорость \(v\). Найдите установившуюся скорость монеты.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Две равные силы. Вдоль плоскости на монету действуют скатывающая сила \(mg\sin\alpha\) (вниз по скату) и трение \(\mu mg\cos\alpha\) (против скорости). По условию \(\mu = \tg\alpha\), поэтому обе равны \[ ma = mg\sin\alpha. \]
Первая проекция — на скорость. Пусть \(\theta\) — угол между скоростью и линией ската. За малое время \(\Delta t\) модуль скорости меняется на проекцию всех сил на направление движения: \[ \Delta w = a\,\Delta t\,\cos\theta - a\,\Delta t. \]
Вторая проекция — на линию ската. Составляющая скорости вдоль ската \(v_{\parallel} = w\cos\theta\) меняется так: \[ \Delta v_{\parallel} = a\,\Delta t - a\,\Delta t\,\cos\theta \] (трение даёт вдоль ската \(-a\cos\theta\), тяжесть \(+a\)).
Складываем. Правые части противоположны, значит \[ \Delta\big(w + v_{\parallel}\big) = 0 \quad\Longrightarrow\quad w + v_{\parallel} = \text{const}. \] В начале монета едет горизонтально: \(w = v\), \(v_{\parallel} = 0\), сумма равна \(v\). В конце движение установилось — оно идёт прямо вниз по скату, где \(w = v_{\parallel} = u\). Значит \[ u + u = v \quad\Longrightarrow\quad u = \frac{v}{2}. \]