По наклонной плоскости скользят два тела одинаковой массы, связанные нитью.
Сила натяжения нити \(T\). Трения между одним телом и доской нет. Определите
силу трения между доской и другим телом.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Нить нерастяжима — ускорения тел одинаковы. Запишем второй закон Ньютона для
каждого тела вдоль наклонной и просто вычтем одно уравнение из другого:
и \(a\), и \(mg\sin\alpha\) уйдут сами собой.
Гладкое тело «хочет» ехать быстрее, поэтому оно ниже, а нить его придерживает.
Кто где. Без нити гладкое тело разгонялось бы сильнее
(\(g\sin\alpha\) против \(g\sin\alpha - \mu g\cos\alpha\)). Значит, оно едет
впереди (ниже), а нить натянута и тянет его назад, помогая заднему телу.
Уравнения вдоль наклонной (масса каждого тела \(m\), ускорение
общее \(a\)):
\[ \text{гладкое:}\quad ma = mg\sin\alpha - T, \]
\[ \text{с трением:}\quad ma = mg\sin\alpha + T - F_{\text{тр}}. \]
Вычтем первое уравнение из второго:
\[ 0 = 2T - F_{\text{тр}}
\quad\Longrightarrow\quad
F_{\text{тр}} = 2T. \]
Проверка. Ни \(\alpha\), ни \(m\), ни \(g\) в ответ
не вошли — и правильно: натяжение как раз и есть «мера» того, насколько
трение затормозило систему. Если трения нет, \(T = 0\) ✓; если тела равны и
трение только у одного, нить забирает у него ровно половину лишней силы, а
вторую половину — оно само.