Савченко · Глава 2. Динамика · § 2.1. Законы Ньютона

Савченко, задача 2.1.47

Задача 2.1.47★ блок, закреплённый на теле

Условие

Найдите ускорение тел системы, изображённой на рисунке. Сила \(F\) приложена по направлению нити к одному из тел массы \(m\). Участки нити по обе стороны от лёгкого блока, прикреплённого к телу массы \(M\), параллельны.

К задаче 2.1.47 (рисунок из условия, перерисован). Лёгкий блок закреплён на теле M (3); нить через блок связывает тела 1 и 2 массы m, её участки параллельны.

▶Посмотреть решениеСкрыть решение

Решение

Идея Блок невесом — натяжение по всей нити одно и то же, \(T\), а на тело \(M\) он передаёт удвоенную силу \(2T\). Не хватает одного уравнения — его даёт нерастяжимость: если блок сдвинулся на \(\Delta s\), то суммарно оба конца нити должны сдвинуться на \(2\Delta s\).

Лёгкий блок закреплён на теле \(M\); нить огибает его и связывает тела 1 и 2.

Уравнения движения. Направим ось вправо (к блоку); пусть \(x_1, x_2, X\) — координаты тел 1, 2 и блока. Натяжение всюду \(T\): \[ m\ddot x_1 = T - F, \qquad m\ddot x_2 = T, \qquad M\ddot X = -2T. \] (Нить тянет тела 1 и 2 вправо, а блок — влево, сразу двумя ветвями.)

Связь. Длина нити \((X - x_1) + (X - x_2)\) постоянна, значит \[ 2\ddot X = \ddot x_1 + \ddot x_2. \]

Подставляем ускорения: \[ 2\cdot\left(-\frac{2T}{M}\right) = \frac{T-F}{m} + \frac{T}{m} = \frac{2T-F}{m}, \] \[ -4Tm = M(2T - F) \quad\Longrightarrow\quad T\,(4m + 2M) = MF \quad\Longrightarrow\quad T = \frac{MF}{2\,(M+2m)}. \]

Остаётся подставить \(T\) в уравнения тел: \[ a_1 = \frac{F - T}{m} = \frac{F\,(M+4m)}{2m\,(M+2m)},\qquad a_2 = \frac{T}{m} = \frac{FM}{2m\,(M+2m)},\qquad a_3 = \frac{2T}{M} = \frac{F}{M+2m}. \] Тела 1 и 3 едут в сторону силы \(F\), тело 2 — навстречу, к блоку.

Проверка. При \(M \to 0\): \(T \to 0\), \(a_1 \to F/m\), \(a_2 \to 0\), \(a_3 \to F/(2m)\) — невесомый блок с невесомой нитью просто «сдаётся» ✓. При \(M \to \infty\): \(T \to F/2\), \(a_1 = a_2 = F/(2m)\), \(a_3 \to 0\) — блок закреплён неподвижно, классическая пара грузов ✓. И связь выполняется: \(a_1 - a_2 = \dfrac{4mF}{2m(M+2m)} = \dfrac{2F}{M+2m} = 2a_3\) ✓.

Ответ \( a_1 = \dfrac{F(M+4m)}{2m(M+2m)} \), \( a_2 = \dfrac{FM}{2m(M+2m)} \), \( a_3 = \dfrac{F}{M+2m} \).

Следующая задача 2.1.48 →