Савченко · Глава 2. Динамика · § 2.1. Законы Ньютона

Савченко, задача 2.1.48

Задача 2.1.48клин между брусками

Условие

Между двумя одинаковыми гладкими брусками массы \(m_1\) каждый вставлен клин массы \(m_2\) с углом \(\alpha\). Определите ускорение тел.

▶Посмотреть решениеСкрыть решение

Решение

Идея Клин опускается, бруски разъезжаются — их движения жёстко связаны наклоном грани: за опускание на \(\Delta h\) каждый брусок уходит на \(\Delta h\,\tg(\alpha/2)\). Эта связь и превращает три неизвестных в одно уравнение.

Грань клина составляет с вертикалью угол \(\alpha/2\); нормаль \(N\) (давление клина на брусок) — с горизонталью тот же \(\alpha/2\).

Связь движений. Каждая грань клина наклонена к вертикали под углом \(\alpha/2\). Клин опускается на \(\Delta h\) — брусок отъезжает на \(\Delta h\,\tg(\alpha/2)\), поэтому \[ a_1 = a_2\,\tg\frac{\alpha}{2}. \]

Брусок. Гладкие поверхности — на брусок действует только нормаль \(N\), её горизонтальная составляющая \(N\cos(\alpha/2)\): \[ m_1 a_1 = N\cos\frac{\alpha}{2}. \]

Клин. Его тянет вниз тяжесть, а вверх — вертикальные составляющие двух реакций брусков (по третьему закону Ньютона они равны \(N\) и направлены вверх-внутрь): \[ m_2 a_2 = m_2 g - 2N\sin\frac{\alpha}{2}. \]

Выражаем \(N\) из уравнения бруска и подставляем: \[ N = \frac{m_1 a_2 \tg(\alpha/2)}{\cos(\alpha/2)} \;\Longrightarrow\; m_2 a_2 = m_2 g - 2m_1 a_2 \tg^2\frac{\alpha}{2}, \] \[ a_2 = \frac{m_2\,g}{m_2 + 2m_1\tg^2(\alpha/2)}, \qquad a_1 = \frac{m_2\,g\,\tg(\alpha/2)}{m_2 + 2m_1\tg^2(\alpha/2)}. \]

Проверка. При \(m_1 \to 0\) получаем \(a_2 = g\) — клин просто падает ✓. При \(\alpha \to 0\) (острый клин) \(a_2 \to g\), \(a_1 \to 0\): тонкое лезвие проваливается, почти не раздвигая бруски ✓. При \(\alpha \to 180^\circ\) (клин выродился в плиту) \(\tg(\alpha/2)\to\infty\) и \(a_2 \to 0\) — плита лежит на брусках ✓.

Ответ \( a_2 = \dfrac{m_2 g}{m_2 + 2m_1\tg^2(\alpha/2)} \) (клин, вниз); \( a_1 = \dfrac{m_2 g\,\tg(\alpha/2)}{m_2 + 2m_1\tg^2(\alpha/2)} \) (бруски, врозь).

Следующая задача 2.1.49 →